Esercizi sui vettori

• Trova le componenti $x$ e $y$ del vettore in figura.

Date le componenti $r_x = 12,0 \ cm$, $r_y = 14,0 \ cm$,

• calcola il modulo del vettore $r$.

Data la componente di un vettore $r_x = 10,0 \ m$ e l'angolo compreso tra questa e il vettore stesso, $\theta = 25,0^\circ$

• calcola la componente $y$ del vettore $r$

Dato il vettore $r = 70 \ cm$ in figura

• trovane le componenti

Dati due vettori $\vec{A} = (5,0; \ 10,0) \ m$, $\vec{B} = (8,0; \ 4,0) \ m$:

• disegna il vettore somma $\vec{C} = \vec{A} + \vec{B}$
• calcola il modulo del vettore $\vec{C}$

Dati due vettori $\vec{A} = (4,0; \ 8,0) \ m$, $\vec{B} = (4,0; \ 2,0) \ m$:

• disegna il vettore differenza $\vec{C} = \vec{A} - \vec{B}$
• calcola il modulo del vettore $\vec{C}$

Dati i vettori in figura:

• determina il vettore somma $\vec{S} = \vec{A} + \vec{B} + \vec{C}$
• determina il vettore differenza $\vec{D} = \vec{A} - \vec{B}$
• determina il vettore differenza $\vec{D^*} = \vec{B} - \vec{A}$

Dati i vettori $\vec{A} = (1,0; \ 3,0; \ 2,0) \ cm$ e $\vec{B} = (1,0; \ -2,0; \ -4,0) \ cm$:

• calcola il vettore somma $\vec{S} = \vec{A} + \vec{B}$
• calcola il vettore differenza $\vec{D} = \vec{A} - \vec{B}$
• determina i moduli dei vettori $\vec{S}$ e $\vec{D}$

Disegna i seguenti vettori e calcola il loro modulo:

• $\vec{A} = (2,0)\hat{x} + (3,0)\hat{y}$
• $\vec{B} = (0,0)\hat{x} + (4,0)\hat{y}$
• $\vec{C} = (3,0)\hat{x} + (-1,0)\hat{y}$

Dati i vettori $\vec{A} = (5,0)\hat{x} + (1,0)\hat y$, $\vec{B} = (3,0)\hat x + (4,0)\hat y$:

• disegna i vettori $\vec{A}$ e $\vec{B}$
• disegna e calcola il modulo del vettore somma $\vec{S} = \vec{A} + \vec{B}$
• disegna e calcola il modulo del vettore differenza $\vec{D} = \vec{A} - \vec{B}$

Una mappa del tesoro riporta le seguenti istruzioni: "cammina $10 \ m$ verso nord, poi $5 \ m$ verso est, infine $3 \ m$ verso sud".

• Disegna i vettori relativi alle indicazioni
• Esprimi i tre vettori usando i versori $\hat x$ e $\hat y$
• Disegna il vettore somma dei tre e calcolane il modulo

Dati i vettori in figura:

• ricava le espressioni dei vettori usando i versori $\hat x$ e $\hat y$

Dato lo scalare $a = 5$ e il vettore $\vec{B}$ di modulo $5,0 \ m$, che forma un angolo di $30^\circ$ con l'asse x,

• calcola il prodotto tra lo scalare e il vettore.

Dato lo scalare $a = 3$ e il vettore $\vec{B}$ di componenti $B_x = 3,0 \ m$ e $B_y = 1,0 \ m$,

• calcola il prodotto tra lo scalare e il vettore.

Dati i vettori in figura (considera lo spazio tridimensionale, con asse z uscente dal foglio):

• determina il loro prodotto scalare $\vec A \cdot \vec B$ e il prodotto vettoriale $\vec{A} \times \vec{B}$.

Dati i vettori in figura (considera lo spazio tridimensionale, con asse z uscente dal foglio):

• determina il prodotto scalare,
• determina il prodotto vettoriale $\vec{A} \times \vec{B}$

Dato il vettore $\vec{A} = 5\hat{x} + 5\hat{y}$

• Disegna il vettore
• Calcola l'angolo che il vettore forma con l'asse $x$

Il prodotto scalare di due vettori è $\vec{A} \cdot \vec{B} = 10$. Se il vettore $\vec{B}$ ha componenti $\vec{B} = (2,1)$ e la componente $y$ del vettore $\vec{A}$ è $A_y = 0$

• Calcola la componente $A_x$

Dati i vettori $\vec{A}$ e $\vec{B}$ di modulo, rispettivamente, $|\vec{A}| = 4$ e $|\vec{B}| = 3$ il loro prodotto scalare è $\vec{A} \cdot \vec{B} = 6$

• Calcola l'angolo tra i due vettori

Calcola i seguenti prodotti vettoriali:

• $\hat{x} \times \hat{x}$
• $\hat{x} \times \hat{y}$

Una palla si trova in cima ad una salita la cui lunghezza orizzontale è $L = 10,2 \ m$ e di inclinazione pari a $\theta = 20,4^{\circ}$, come mostrato in figura:

• Calcola l'altezza $h$ della palla

Luca e Paolo stanno camminando lungo un sentiero. Percorrono $800 \ m$ verso Nord fino a raggiungere un bivio. Scelgono quindi di continuare verso Nord-Est percorrendo un sentiero lungo $700 \ m$ la cui direzione forma un angolo $\theta = 30^{\circ}$ rispetto alla direzione Nord. In figura è mostrato schematicamente i vettori spostamento:

• Calcola il modulo dello spostamento totale $\vec{C}$ di Luca e Paolo

Siano $A_x = 5$ ed $A_y = 12$ le componenti del vettore $\vec{A}$ e siano $B_x = 3$ e $B_y = 4$ le componenti del vettore $\vec{B}$

• Calcola l'angolo tra i due vettori
• Disegna i due vettori

Considera i due vettori $\vec{A}$ e $\vec{B}$ in figura:

• Disegna il vettore $\vec{A} + \vec{B}$
• Disegna il vettore $\vec{C}$ tale che $\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = 0$

Date le componenti $A_x = 3$ ed $A_y = 5$ del vettore $\vec{A}$ e le componenti $B_x = 1$ e $B_y = 5$ del vettore $\vec{B}$

• Calcola le componenti del vettore $\vec{C} = 2\vec{A} - \vec{B}$

Dati $\vec{A} = (3,2,0)$ e $\vec{B} = (0,3,1)$

• Esiste un vettore $\vec{V}$ tale che $\vec{A} \times \vec{V} = \vec{B}$?

Dati $\vec{A} = (3,2,0)$ e $\vec{B} = (0,0,1)$

• Esiste un vettore $\vec{V}$ tale che $\vec{A} \times \vec{V} = \vec{B}$? Se sì, calcola le componenti di $\vec{V}$

Supponiamo di avere due vettori $\vec{A} = (1,0,-1)$ e $\vec{B} = (0,1,1)$

• Calcola il prodotto vettoriale $\vec{A} \times \vec{B}$
• Calcola il prodotto vettoriale $\vec{B} \times \vec{A}$

Supponiamo di avere tre vettori $\vec{A} = (1,0,-1)$, $\vec{B} = (0,1,1)$ e $\vec{C} = (2,0,0)$

• Calcola $\vec{C} \times (\vec{A} \times \vec{B})$

Consideriamo i tre vettori del problema precedente, $\vec{A} = (1,0,-1)$, $\vec{B} = (0,1,1)$ e $\vec{C} = (2,0,0)$

• Calcola ($\vec{C} \times \vec{A}) \times \vec{B}$

Data la somma vettoriale $\vec{C} = \vec{A} + \vec{B}$, mostrata qui in figura:

• Ricava la legge dei seni

Data la differenza $\vec C$ di due vettori $\vec A$ e $\vec B$ mostrati in figura

• Ricavare la legge del coseno, anche detta legge di Carnot

Consideriamo la figura seguente:

Sia $\vec C = \vec A + \vec B$ il vettore somma e sia $|\vec B| = 12$

• Calcola il modulo $|\vec C|$ sapendo che $|\vec A| = 10$