Vettori – 30

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Sul calcolo del prodotto vettoriale di tre vettori – Caso 2

Consideriamo i tre vettori del problema precedente, \vec{A} = (1,0,-1), \vec{B} = (0,1,1) e \vec{C} = (2,0,0)

  • Calcola (\vec{C} \times \vec{A}) \times \vec{B}

Soluzione

Svolgiamo prima il prodotto vettoriale all’interno delle parentesi:

    \begin{align*}\vec{C} \times \vec{A} &=\begin{vmatrix}\hat x & \hat y & \hat z \\C_x & C_y & C_z \\A_x & A_y & A_z\end{vmatrix}\\[1em]= \ &\hat x[(C_y)(A_z) - (C_z)(A_y)] \, + \\&\hat y[(C_z)(A_x) - (C_x)(A_z)] \, + \\&\hat z[(C_x)(A_y) - (C_y)(A_x)] \\[1em]= \ &\hat x[(0)(-1) - (0)(0)] \, + \\&\hat y[(0)(1) - (2)(-1)] \, + \\&\hat z[(2)(0) - (0)(1)] \\[1em]= \ &2\hat y\end{align*}

Calcoliamo ora il prodotto tra il risultato (0,2,0) appena trovato e \vec{B}:

    \begin{align*}(\vec{C} \times \vec{A}) \times \vec{B} &=\begin{vmatrix}\hat x & \hat y & \hat z \\0 & 2 & 0 \\0 & 1 & 1\end{vmatrix}\\[1em]&= 2\hat x \end{align*}

Se consideriamo anche il problema precedente, osserviamo quindi che:

    \[\vec{C} \times (\vec{A} \times \vec{B}) \neq (\vec{C} \times \vec{A}) \times \vec{B}\]