Vettori – 22

22

Sul modulo del vettore somma

Luca e Paolo stanno camminando lungo un sentiero. Percorrono 800 \ m verso Nord fino a raggiungere un bivio. Scelgono quindi di continuare verso Nord-Est percorrendo un sentiero lungo 700 \ m la cui direzione forma un angolo \theta = 30^{\circ} rispetto alla direzione Nord. In figura è mostrato schematicamente i vettori spostamento:

  • Calcola il modulo dello spostamento totale \vec{C} di Luca e Paolo

Soluzione

Per definizione, il modulo del vettore \vec{C} è:

    \[C = \sqrt{C_x^2 + C_y^2}\]

Per calcolare le componenti C_x e C_y ricordiamo che sono la somma delle componenti x ed y dei vettori \vec{A} e \vec{B}, ovvero:

    \[\vec{C} = \vec{A} + \vec{B} = (A_x + B_x, A_y + B_y) = (C_x, C_y)\]

Dalla figura notiamo che le componenti di \vec{A} sono:

    \[\vec{A} = (0,800) \ m\]

mentre le componenti di \vec{B} si ottengono a partire dall’angolo complementare (cioè che forma 90^{\circ}) di \theta, come mostrato in figura:

Quindi:

    \begin{align*}& B_x = 700 \cdot \cos(60^{\circ}) = 350 \ m \\& B_y = 700 \cdot \sin(60^{\circ}) = 606 \ m\end{align*}

Da cui:

    \[(C_x, C_y) = (A_x + B_x, A_y + B_y) = (350 , 1406) \ m\]

Il modulo del vettore spostamento totale è:

    \[C = \sqrt{350^2 + 1406^2} = 1449 \ m\]