Vettori – 15

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Sul prodotto scalare ed il prodotto vettoriale

Dati i vettori in figura (considera lo spazio tridimensionale, con asse z uscente dal foglio):

  • determina il loro prodotto scalare \vec A \cdot \vec B e il prodotto vettoriale \vec{A} \times \vec{B}.

Soluzione

Il prodotto scalare tra due vettori è dato dalla somma dei prodotti componente per componente, e il risultato è uno scalare:

    \[\vec{A} \cdot \vec{B} = (A_x)(B_x) + (A_y)(B_y)\]

Grazie al grafico possiamo ricavare le componenti:

    \begin{align*}A_x &= 2\\A_y &= 4\\[1em]B_x &= 4\\B_y &= 2\\[1em]&\rightarrow \ \vec{A} \cdot \vec{B} = (2)(4) + (4)(2) = 16\end{align*}

Il prodotto vettoriale ha come risultato un vettore, ortogonale ai vettori di partenza, e si determina attraverso la regola di Sarrus:

    \begin{align*}\vec{A} \times \vec{B} &=\begin{vmatrix}\hat x & \hat y & \hat z \\A_x & A_y & A_z \\B_x & B_y & B_z\end{vmatrix}\\[1em]&= \hat x[(A_y)(B_z) - (A_z)(B_y)] - \hat y[(A_x)(B_z) - (A_z)(B_x)] + \hat z[(A_x)(B_y) - (A_y)(B_x)]\\& = \hat x[(4)(0) - (0)(2)] - \hat y[(2)(0) - (0)(4)] + \hat z[(2)(2) - (4)(4)] = 0\hat x + 0\hat y - 12\hat z\end{align*}

Quindi il vettore risultante ha direzione lungo l’asse z e verso negativo, con modulo 12:

    \[\vec A \times \vec B = (0; \ 0;\ -12)\]