Vettori - 27 | GoPhysics

Sulla perpendicolarità nel prodotto vettoriale – Caso 2

Dati $\vec{A} = (3,2,0)$ e $\vec{B} = (0,0,1)$

Esiste un vettore $\vec{V}$ tale che $\vec{A} \times \vec{V} = \vec{B}$ ? Se sì, calcola le componenti di $\vec{V}$

Soluzione

A differenza dell’esercizio precedente, la risposta è SI. Infatti è soddisfatta la condizione per cui il risultato di un qualsiasi prodotto vettoriale è un vettore perpendicolare ai due vettori che si stanno moltiplicando.

Verifichiamolo dal prodotto scalare:

$\vec{A} \cdot \vec{B} = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z = 0$

Non ci resta che scegliere un vettore $\vec{V}$ che sia perpendicolare sia ad $\vec{A}$ che a $\vec{B}$ . Per essere perpendicolare ad $\vec{A}$ deve valere la condizione:

$\begin{align*}&\vec{A} \cdot \vec{V} = A_xV_x + A_yV_y + A_zV_z \\&= 3V_x + 2V_y = 0\end{align*}$

La relazione appena trovata ci dice che basta trovare due componenti $x$ ed $y$ che verifichino:

$V_x = - \frac{2}{3}V_y$

Per essere perpendicolare a $\vec{B}$ deve valere la condizione:

$\vec{B} \cdot \vec{V} = B_xV_x + B_yV_y + B_zV_z = V_z = 0$

Quindi, le componenti di $\vec{V}$ sono $(-2/3V_y, V_y, 0)$ . Vediamo se il risultato è corretto. Scegliamo un caso semplice, ad esempio $V_y = 1$ . In questo caso:

$\vec{V} = (-2/3, 1, 0)$

Verifichiamo che i prodotti scalari con gli altri due vettori siano nulli:

$\vec{A} \cdot \vec{V} = -2 + 2 + 0 = 0$

$\vec{B} \cdot \vec{V} = 0$

Il risultato trovato è corretto!