Vettori – 32

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Che cosa è la legge di Carnot?

Data la differenza \vec C di due vettori \vec A e \vec B mostrati in figura

  • Ricavare la legge del coseno, anche detta legge di Carnot

Soluzione

Consideriamo il prodotto scalare del vettore \vec C con sé stesso:

    \begin{align*}&\vec C \cdot \vec C = (\vec A - \vec B) \cdot (\vec A - \vec B) = \\& = A^2 + B^2 - (\vec A \cdot \vec B) - (\vec B \cdot \vec A)\end{align*}

Sfruttiamo il fatto che il prodotto scalare è simmetrico, ovvero:

    \[\vec A \cdot \vec B = \vec B \cdot \vec A\]

per cui:

    \begin{align*}&\vec C \cdot \vec C = C^2 = A^2+ B^2 - 2(\vec A \cdot \vec B) \\&= A^2 + B^2 - 2AB\cos\theta\end{align*}

che è proprio l’espressione della legge di Carnot!