Vettori – 8

8

Sulla somma e differenza di due vettori nello spazio

Dati i vettori \vec{A} = (1,0; \ 3,0; \ 2,0) \ cm e \vec{B} = (1,0; \ -2,0; \ -4,0) \ cm:

  • calcola il vettore somma \vec{S} = \vec{A} + \vec{B}
  • calcola il vettore differenza \vec{D} = \vec{A} - \vec{B}
  • determina i moduli dei vettori \vec{S} e \vec{D}

[\vec{S} = (2,0; \ 1,0; \ -2,0) \ cm; \vec{D} = (0,0; \ 5,0; \ 6,0) \ cm; S = 3,0 \ cm; D = 7,8 \ cm]

Soluzione

Per il vettore somma \vec{S}:

    \[\vec{S} = \vec{A} + \vec{B}\]

    \begin{align*}&S_x = A_x + B_x = 1,0 + 1,0 \ cm = 2,0 \ cm\\&S_y = A_y + B_y = 3,0 - 2,0 \ cm = 1,0 \ cm\\&S_z = A_z + B_z = 2,0 - 4,0 \ cm = -2,0 \ cm\end{align*}

Per il vettore differenza \vec{D}:

    \[\vec{D} = \vec{A} + (-\vec{B})\]

    \begin{align*}&D_x = A_x - B_x = 1,0 - 1,0 \ cm = 0,0 \ cm\\&D_y = A_y - B_y = 3,0 + 2,0 \ cm = 5,0 \ cm\\&D_z = A_z - B_z = 2,0 + 4,0 \ cm = 6,0 \ cm\end{align*}

I moduli dei due:

    \begin{align*}S &= \sqrt{S_x^2 + S_y^2 + S_z^2} \\&= \sqrt{(2,0)^2 + (1,0)^2 + (-2,0)^2} \ cm = 3,0 \ cm\\[1em]D &=\sqrt{D_x^2 + D_y^2 + D_z^2} \\&= \sqrt{(0,0)^2 + (5,0)^2 + (6,0)^2} \ cm = 7,8 \ cm\end{align*}