Vettori – 28

28

Sul calcolo del prodotto vettoriale con la regola di Sarrus

Supponiamo di avere due vettori \vec{A} = (1,0,-1) e \vec{B} = (0,1,1)

  • Calcola il prodotto vettoriale \vec{A} \times \vec{B}
  • Calcola il prodotto vettoriale \vec{B} \times \vec{A}

Soluzione

Per calcolare il primo prodotto vettoriale, basta applicare la regola di Sarrus:

    \begin{align*}\vec{A} \times \vec{B} &=\begin{vmatrix}\hat x & \hat y & \hat z \\A_x & A_y & A_z \\B_x & B_y & B_z\end{vmatrix}\\[1em]= \, & \ \hat x[(A_y)(B_z) - (A_z)(B_y)] \, + \\&\hat y[(A_z)(B_x) - (A_x)(B_z)] \, + \\&\hat z[(A_x)(B_y) - (A_y)(B_x)] \\[1em] = \, & \ \hat x[(0)(1) - (-1)(1)] \, + \\&\hat y[(-1)(0) - (1)(1)] \, + \\&\hat z[(1)(1) - (0)(0)] = \hat x - \hat y + \hat z\end{align*}

Calcoliamo il secondo prodotto vettoriale:

    \begin{align*}\vec{B} \times \vec{A} &=\begin{vmatrix}\hat x & \hat y & \hat z \\B_x & B_y & B_z \\A_x & A_y & A_z\end{vmatrix}\\[1em]= \, &\hat x[(B_y)(A_z) - (A_y)(B_z)] \ + \\&\hat y[(A_x)(B_z) - (A_z)(B_x)] \ + \\&\hat z[(A_y)(B_x) - (A_x)(B_y)] \\[1em]= \, &\hat x[(1)(-1) - (0)(1)] \ + \\&\hat y[(1)(1) - (-1)(0)] \ + \\&\hat z[(0)(0) - (1)(1)] = - \hat x + \hat y - \hat z\end{align*}

Osserviamo quindi che il prodotto vettoriale non è simmetrico, ovvero:

    \[\vec{A} \times \vec{B} \neq \vec{B} \times \vec{A}\]