Vettori – 20

20

Sul prodotto vettoriale tra versori

Calcola i seguenti prodotti vettoriali:

  • \hat{x} \times \hat{x}
  • \hat{x} \times \hat{y}

Soluzione

Dalla definizione di prodotto vettoriale otteniamo:

    \[\hat{x} \times \hat{x} = |\hat{x}||\hat{x}|\sin\theta\]

I due versori \hat{x} sono versori coincidenti, quindi l’angolo \theta compreso è nullo. Sostituendo nell’espressione otteniamo dunque:

    \[\hat{x} \times \hat{x} = |\hat{x}||\hat{x}|\sin0^{\circ} = 0\]

Per quanto riguarda il prodotto vettoriale \hat{x} \times \hat{y} abbiamo:

    \[\hat{x} \times \hat{y} = |\hat{x}||\hat{y}|\sin\theta\]

I versori lungo gli assi del piano cartesiano sono perpendicolari tra loro, dunque \theta = 90^{\circ}:

    \[\hat{x} \times \hat{y} = |\hat{x}||\hat{y}|\sin90^{\circ} = |\hat{x}||\hat{y}|\]

Dal momento che il modulo di qualsiasi versore è 1, otteniamo:

    \[\hat{x} \times \hat{y} = |\hat{x}||\hat{y}|\sin90^{\circ} = 1 \]

ovvero il modulo del prodotto vettoriale è uguale ad 1 ed il verso è positivo. La direzione del vettore risultante dal prodotto vettoriale deve essere perpendicolare sia al versore \hat{x} che al versore \hat{y}, di conseguenza l’unica scelta possibile è il versore \hat{z}. Quindi:

    \[\hat{x} \times \hat{y} = \hat{z}\]