Vettori – 16

16

Sul prodotto scalare e vettoriale

Dati i vettori in figura (considera lo spazio tridimensionale, con asse z uscente dal foglio):

esercizi vettori 16
  • determina il prodotto scalare,
  • determina il prodotto vettoriale \vec{A} \times \vec{B}

Soluzione

Dalla definizione del prodotto scalare tra vettori:

    \[\vec{A} \cdot \vec{B} = \left|A\right| \left|B\right|\cos(\theta)\]

dove \theta è l’angolo compreso tra i due: nel nostro caso \theta = 52^\circ - 23^\circ = 29^\circ.

Sostituendo:

    \[\vec{A} \cdot \vec{B} = (5)(7)\cos(29^\circ) = 30\]

Dalla definizione del prodotto vettoriale \vec{A} \times \vec{B}:

    \[\vec{A} \times\vec{B} = \hat{n}\left|A\right| \left|B\right|\sin(\theta)\]

dove \hat{n} è il versore che indica direzione e verso del vettore risultante. Questo si determina attraverso la regola della mano destra, oppure attraverso il determinante di Sarrus per una descrizione più profonda. In questo caso, la regola della mano destra restituisce come risultato il versore entrante del foglio - \hat{z}: pollice su \vec{A}, indice su \vec{B}, medio quindi diretto verso il foglio, entrante.

Abbiamo quindi:

    \[\vec{A} \times\vec{B} = -\hat{z}(5)(7)\sin(29) = -17\hat{z}\]