Esercizi sui vettori

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In questa pagina troverete una raccolta di esercizi svolti sui vettori, pensata per accompagnare lo studio teorico con la pratica. Gli esercizi proposti coprono diversi livelli di difficoltà e includono operazioni fondamentali come somma, differenza, scomposizione e prodotto scalare e vettoriale, con una particolare attenzione alla rappresentazione grafica e all’interpretazione fisica.

I vettori sono strumenti indispensabili per descrivere quantità fisiche dotate di direzione e verso, come forza, velocità e accelerazione. Apprenderne l’uso consapevole permette di affrontare con sicurezza problemi più complessi di meccanica e fisica generale. Per questo ogni esercizio è accompagnato da una soluzione dettagliata, pensata per chiarire i passaggi logici e matematici alla base del ragionamento.

Questa raccolta è pensata per studenti di scuole superiori e appassionati di scienze fisiche che desiderano approfondire le proprie conoscenze e migliorare le proprie capacità di problem-solving. Speriamo che vi sia utile nel vostro percorso di studio e vi fornisca una solida base per affrontare con sicurezza le sfide poste dalla termodinamica. Buono studio!

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Esercizi svolti sui vettori

1

Sulle componenti di un vettore

  • Trova le componenti x e y del vettore in figura.
esercizio componenti vettore

[r_x = 18,5 \ m; r_y = 7,5 \ m]

Soluzione
2

Sul modulo di un vettore

Date le componenti r_x = 12,0 \ cm, r_y = 14,0 \ cm,

  • calcola il modulo del vettore r.

[18,4 \ cm]

Soluzione
3

Sulla componente di un vettore

Data la componente di un vettore r_x = 10,0 \ m e l’angolo compreso tra questa e il vettore stesso, \theta = 25,0^\circ

  • calcola la componente y del vettore r

[r_y = 4,7 \ m]

Soluzione
4

Sulle componenti di un vettore in tre dimensioni

Dato il vettore r = 70 \ cm in figura

  • trovane le componenti
esercizio vettore tridimensionale

[r_x=47 \ cm; r_y =27 \ cm; r_z=45 \ cm]

Soluzione
5

Sulla somma di due vettori con il metodo punta-coda

Dati due vettori \vec{A} = (5,0; \ 10,0) \ m, \vec{B} = (8,0; \ 4,0) \ m:

  • disegna il vettore somma \vec{C} = \vec{A} + \vec{B}
  • calcola il modulo del vettore \vec{C}

[19,1 \ m]

Soluzione
6

Sulla differenza di due vettori con il metodo punta-coda

Dati due vettori \vec{A} = (4,0; \ 8,0) \ m, \vec{B} = (4,0; \ 2,0) \ m:

  • disegna il vettore differenza \vec{C} = \vec{A} - \vec{B}
  • calcola il modulo del vettore \vec{C}

[6,0 \ m]

Soluzione
7

Sulla somma e differenza di tre vettori

Dati i vettori in figura:

esercizio somma tre vettori

  • determina il vettore somma \vec{S} = \vec{A} + \vec{B} + \vec{C}
  • determina il vettore differenza \vec{D} = \vec{A} - \vec{B}
  • determina il vettore differenza \vec{D^*} = \vec{B} - \vec{A}

[\vec{S} = (9,0; \ 5,0) \ m; \vec{D} = (2,0; \ -1,0) \ m; \vec{D^*} = (-2,0; \ 1,0) \ m]

Soluzione
8

Sulla somma e differenza di due vettori nello spazio

Dati i vettori \vec{A} = (1,0; \ 3,0; \ 2,0) \ cm e \vec{B} = (1,0; \ -2,0; \ -4,0) \ cm:

  • calcola il vettore somma \vec{S} = \vec{A} + \vec{B}
  • calcola il vettore differenza \vec{D} = \vec{A} - \vec{B}
  • determina i moduli dei vettori \vec{S} e \vec{D}

[\vec{S} = (2,0; \ 1,0; \ -2,0) \ cm; \vec{D} = (0,0; \ 5,0; \ 6,0) \ cm; S = 3,0 \ cm; D = 7,8 \ cm]

Soluzione
9

Sulla rappresentazione grafica di un vettore

Disegna i seguenti vettori e calcola il loro modulo:

  • \vec{A} = (2,0)\hat{x} + (3,0)\hat{y}
  • \vec{B} = (0,0)\hat{x} + (4,0)\hat{y}
  • \vec{C} = (3,0)\hat{x} + (-1,0)\hat{y}

[A = \sqrt{13}; B = 4; C = \sqrt{10}]

Soluzione
10

Sulla rappresentazione grafica della somma e differenza di vettori

Dati i vettori \vec{A} = (5,0)\hat{x} + (1,0)\hat y, \vec{B} = (3,0)\hat x + (4,0)\hat y:

  • disegna i vettori \vec{A} e \vec{B}
  • disegna e calcola il modulo del vettore somma \vec{S} = \vec{A} + \vec{B}
  • disegna e calcola il modulo del vettore differenza \vec{D} = \vec{A} - \vec{B}

[S = 9,4; D = 3,6]

Soluzione
11

Sull’espressione dei vettori tramite l’uso dei versori

Una mappa del tesoro riporta le seguenti istruzioni: “cammina 10 \ m verso nord, poi 5 \ m verso est, infine 3 \ m verso sud”.

  • Disegna i vettori relativi alle indicazioni
  • Esprimi i tre vettori usando i versori \hat x e \hat y
  • Disegna il vettore somma dei tre e calcolane il modulo

[8,6 \ m]

Soluzione
12

Sull’espressione dei vettori usando i versori

Dati i vettori in figura:

esercizio sui vettori
  • ricava le espressioni dei vettori usando i versori \hat x e \hat y
Soluzione
13

Sul prodotto tra uno scalare ed un vettore

Dato lo scalare a = 5 e il vettore \vec{B} di modulo 5,0 \ m, che forma un angolo di 30^\circ con l’asse x,

  • calcola il prodotto tra lo scalare e il vettore.

[aB = 25 \ m]

Soluzione
14

Sul prodotto tra scalare e vettore

Dato lo scalare a = 3 e il vettore \vec{B} di componenti B_x = 3,0 \ m e B_y = 1,0 \ m,

  • calcola il prodotto tra lo scalare e il vettore.

[a\vec{B} = (9,0; \ 3,0) \ m]

Soluzione
15

Sul prodotto scalare ed il prodotto vettoriale

Dati i vettori in figura (considera lo spazio tridimensionale, con asse z uscente dal foglio):

Image 19
  • determina il loro prodotto scalare \vec A \cdot \vec B e il prodotto vettoriale \vec{A} \times \vec{B}.

[\vec{A} \cdot \vec{B} = 16; \vec A \times \vec B = (0; \ 0;\ -12)]

Soluzione
16

Sul prodotto scalare e vettoriale

Dati i vettori in figura (considera lo spazio tridimensionale, con asse z uscente dal foglio):

esercizi vettori 16
  • determina il prodotto scalare,
  • determina il prodotto vettoriale \vec{A} \times \vec{B}

[30; -17\hat{z}]

Soluzione
17

Sul calcolo dell’angolo partendo dalle componenti

Dato il vettore \vec{A} = 5\hat{x} + 5\hat{y}

  • Disegna il vettore
  • Calcola l’angolo che il vettore forma con l’asse x

[\theta = 45^{\circ}]

Soluzione
18

Sul calcolo di una componente partendo dal prodotto scalare

Il prodotto scalare di due vettori è \vec{A} \cdot \vec{B} = 10. Se il vettore \vec{B} ha componenti \vec{B} = (2,1) e la componente y del vettore \vec{A} è A_y = 0

  • Calcola la componente A_x

[A_x = 5]

Soluzione
19

Sul calcolo dell’angolo usando il prodotto scalare

Dati i vettori \vec{A} e \vec{B} di modulo, rispettivamente, |\vec{A}| = 4 e |\vec{B}| = 3 il loro prodotto scalare è \vec{A} \cdot \vec{B} = 6

  • Calcola l’angolo tra i due vettori

[\theta = 60^{\circ}]

Soluzione
20

Sul prodotto vettoriale tra versori

Calcola i seguenti prodotti vettoriali:

  • \hat{x} \times \hat{x}
  • \hat{x} \times \hat{y}

[\hat{x} \times \hat{x} = 0; \hat{x} \times \hat{y} = \hat{z}]

Soluzione
21

Sul calcolo di una componente noto l’angolo

Una palla si trova in cima ad una salita la cui lunghezza orizzontale è L = 10,2 \ m e di inclinazione pari a \theta = 20,4^{\circ}, come mostrato in figura:

Vectors Ball
  • Calcola l’altezza h della palla

[h = 3,8 \ m]

Soluzione
22

Sul modulo del vettore somma

Luca e Paolo stanno camminando lungo un sentiero. Percorrono 800 \ m verso Nord fino a raggiungere un bivio. Scelgono quindi di continuare verso Nord-Est percorrendo un sentiero lungo 700 \ m la cui direzione forma un angolo \theta = 30^{\circ} rispetto alla direzione Nord. In figura è mostrato schematicamente i vettori spostamento:

Vettori Nord Est
  • Calcola il modulo dello spostamento totale \vec{C} di Luca e Paolo

[C = 1449 \ m]

Soluzione
23

Sull’angolo tra due vettori

Siano A_x = 5 ed A_y = 12 le componenti del vettore \vec{A} e siano B_x = 3 e B_y = 4 le componenti del vettore \vec{B}

  • Calcola l’angolo tra i due vettori
  • Disegna i due vettori

[14^{\circ}]

Soluzione
24

Sulla somma di due vettori

Considera i due vettori \vec{A} e \vec{B} in figura:

Vettori Es Somma Differenza
  • Disegna il vettore \vec{A} + \vec{B}
  • Disegna il vettore \vec{C} tale che \vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = 0
Soluzione
25

Sulla somma delle componenti

Date le componenti A_x = 3 ed A_y = 5 del vettore \vec{A} e le componenti B_x = 1 e B_y = 5 del vettore \vec{B}

  • Calcola le componenti del vettore \vec{C} = 2\vec{A} - \vec{B}

[C_x = 5, C_y = 5]

Soluzione
26

Sulla perpendicolarità nel prodotto vettoriale – Caso 1

Dati \vec{A} = (3,2,0) e \vec{B} = (0,3,1)

  • Esiste un vettore \vec{V} tale che \vec{A} \times \vec{V} = \vec{B}?

[NO]

Soluzione
27

Sulla perpendicolarità nel prodotto vettoriale – Caso 2

Dati \vec{A} = (3,2,0) e \vec{B} = (0,0,1)

  • Esiste un vettore \vec{V} tale che \vec{A} \times \vec{V} = \vec{B}? Se sì, calcola le componenti di \vec{V}

[(-2/3V_y, V_y, 0)]

Soluzione
28

Sul calcolo del prodotto vettoriale con la regola di Sarrus

Supponiamo di avere due vettori \vec{A} = (1,0,-1) e \vec{B} = (0,1,1)

  • Calcola il prodotto vettoriale \vec{A} \times \vec{B}
  • Calcola il prodotto vettoriale \vec{B} \times \vec{A}

[\hat x - \hat y + \hat z;- \hat x + \hat y - \hat z]

Soluzione
29

Sul calcolo del prodotto vettoriale di tre vettori – Caso 1

Supponiamo di avere tre vettori \vec{A} = (1,0,-1), \vec{B} = (0,1,1) e \vec{C} = (2,0,0)

  • Calcola \vec{C} \times (\vec{A} \times \vec{B})

[- 2\hat y - 2\hat z]

Soluzione
30

Sul calcolo del prodotto vettoriale di tre vettori – Caso 2

Consideriamo i tre vettori del problema precedente, \vec{A} = (1,0,-1), \vec{B} = (0,1,1) e \vec{C} = (2,0,0)

  • Calcola (\vec{C} \times \vec{A}) \times \vec{B}

[2\hat x]

Soluzione
31

Sulla legge dei seni dalla somma vettoriale

Data la somma vettoriale \vec{C} = \vec{A} + \vec{B}, mostrata qui in figura:

Vettori Legge Seni
  • Ricava la legge dei seni

[\frac{C}{\sin\gamma} = \frac{B}{\sin\beta}]

Soluzione
32

Che cosa è la legge di Carnot?

Data la differenza \vec C di due vettori \vec A e \vec B mostrati in figura

Vettori Es Differenza
  • Ricavare la legge del coseno, anche detta legge di Carnot

[C^2 = A^2 + B^2 - 2AB\cos\theta]

Soluzione
33

Sulla legge di Carnot per trovare il modulo di un vettore

Consideriamo la figura seguente:

Vettori 33

Sia \vec C = \vec A + \vec B il vettore somma e sia |\vec B| = 12

  • Calcola il modulo |\vec C| sapendo che |\vec A| = 10

[|\vec C| = 19]

Soluzione