Esercizi sui vettori

esercizi sui vettori

In questa pagina troverete una raccolta di esercizi svolti sui vettori.
Tratta di problemi di varia difficoltà che riguardano le operazioni con i vettori, la loro rappresentazione grafica e le loro applicazioni in fisica, ai quali affianchiamo la soluzione svolta passo dopo passo.
I vettori sono uno degli argomenti fondamentali di fisica, la base per la descrizione di tantissimi fenomeni. Comprenderli e saperli utilizzare è essenziale.

Questi esercizi sui vettori sono principalmente rivolti a studenti di liceo, scuola superiore e studenti triennali, ma chiunque interessato all’argomento può beneficiarne!

Avete trovato qualche refuso? Scriveteci pure: info@gophysics.it

Qui di seguito troverete delle pillole di teoria sotto forma di domande frequenti, altrimenti cliccate sul tasto per saltare velocemente alla raccolta. Buono studio!

Hai ancora difficoltà con l’argomento? Se hai bisogno di ripassare l’argomento, prenota una sessione di ripetizioni con i nostri tutor!

Prenota una lezione

FAQ

Il modulo di un vettore si calcola come la radice quadrata della somma delle sue componenti al quadrato:

$|\vec v| = \sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$

Dato il modulo del vettore $|\vec u|$ e l’angolo $\theta$ che questo forma con l’asse delle ascisse, le componenti si ricavano dalla trigonometria:

$\begin{cases}u_x = |\vec u|\cos\theta \\u_y = |\vec u|\sin\theta\end{cases}$

Attraverso il metodo grafico del parallelogramma (o metodo punta-coda), oppure, conoscendo le loro componenti:

$\vec u + \vec v = \left(u_x + v_x \, ; \, u_y + v_y \, ; \, u_z + v_z\right)$

Attraverso il metodo grafico del parallelogramma (o metodo punta-coda), oppure, conoscendo le loro componenti:

$\vec u - \vec v = \left(u_x - v_x \, ; \, u_y - v_y \, ; \, u_z - v_z\right)$

Dato $a$ scalare e $\vec v = (v_x \, ; \, v_y)$ il prodotto del vettore per lo scalare è:

$a\vec v = (av_x \, ; \, av_y)$

Dati i vettori $\vec u$ e $\vec v$ , il loro prodotto scalare è definito come la somma dei prodotti delle rispettive componenti:

$\vec u \cdot \vec v = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z$

Questo è anche uguale al prodotto dei moduli con il coseno dell’angolo compreso tra i due vettori:

$\vec u \cdot \vec v = |\vec u||\vec v|\cos\theta$

Date le componenti $A_x$ ed $A_y$ di un generico vettore $\vec{A}$ , l’angolo $\theta$ che il vettore forma con l’asse $x$ è definito come:

$\theta = \tan^{-1}\bigg(\frac{A_y}{A_x}\bigg)$

Per la preparazione ai test di ammissione universitari e per le verifiche!

Vai alla sezione Quiz!

Esercizi sui vettori

1

Sulle componenti di un vettore

Trova le componenti $x$ e $y$ del vettore in figura.

esercizio componenti vettore

[ $r_x = 18,5 \ m$ ; $r_y = 7,5 \ m$ ]

2

Sul modulo di un vettore

Date le componenti $r_x = 12,0 \ cm$ , $r_y = 14,0 \ cm$ ,

calcola il modulo del vettore $r$ .

[ $18,4\ cm$ ]

3

Sulla componente di un vettore

Data la componente di un vettore $r_x = 10,0 \ m$ e l’angolo compreso tra questa e il vettore stesso, $\theta = 25,0^\circ$

calcola la componente $y$ del vettore $r$

[ $4,7 \ m$ ]

4

Sulle componenti di un vettore in tre dimensioni

Dato il vettore $r = 70 \ cm$ in figura

trovane le componenti

esercizio vettore tridimensionale

[ $r_x=47 \ cm$ ; $r_y =27 \ cm$ ; $r_z=45 \ cm$ ]

5

Sulla somma di due vettori con il metodo punta-coda

Dati due vettori $\vec{A} = (5,0; \ 10,0) \ m$ , $\vec{B} = (8,0; \ 4,0) \ m$ :

disegna il vettore somma $\vec{C} = \vec{A} + \vec{B}$
calcola il modulo del vettore $\vec{C}$

[ $19,1 \ m$ ]

6

Sulla differenza di due vettori con il metodo punta-coda

Dati due vettori $\vec{A} = (4,0; \ 8,0) \ m$ , $\vec{B} = (4,0; \ 2,0) \ m$ :

disegna il vettore differenza $\vec{C} = \vec{A} - \vec{B}$
calcola il modulo del vettore $\vec{C}$

[ $6,0 \ m$ ]

7

Sulla somma e differenza di tre vettori

Dati i vettori in figura:

esercizio somma tre vettori

determina il vettore somma $\vec{S} = \vec{A} + \vec{B} + \vec{C}$
determina il vettore differenza $\vec{D} = \vec{A} - \vec{B}$
determina il vettore differenza $\vec{D^*} = \vec{B} - \vec{A}$

[ $\vec{S} = (9,0; \ 5,0) \ m$ ; $\vec{D} = (2,0; \ -1,0) \ m$ ; $\vec{D^*} = (-2,0; \ 1,0) \ m$ ]

8

Sulla somma e differenza di due vettori nello spazio

Dati i vettori $\vec{A} = (1,0; \ 3,0; \ 2,0) \ cm$ e $\vec{B} = (1,0; \ -2,0; \ -4,0) \ cm$ :

calcola il vettore somma $\vec{S} = \vec{A} + \vec{B}$
calcola il vettore differenza $\vec{D} = \vec{A} - \vec{B}$
determina i moduli dei vettori $\vec{S}$ e $\vec{D}$

[ $\vec{S} = (2,0; \ 1,0; \ -2,0) \ cm$ ; $\vec{D} = (0,0; \ 5,0; \ 6,0) \ cm$ ; $S = 3,0 \ cm$ ; $D = 7,8 \ cm$ ]

9

Sulla rappresentazione grafica di un vettore

Disegna i seguenti vettori e calcola il loro modulo:

$\vec{A} = (2,0)\hat{x} + (3,0)\hat{y}$
$\vec{B} = (0,0)\hat{x} + (4,0)\hat{y}$
$\vec{C} = (3,0)\hat{x} + (-1,0)\hat{y}$

[ $A = \sqrt{13}$ ; $B = 4$ ; $C = \sqrt{10}$ ]

10

Sulla rappresentazione grafica della somma e differenza di vettori

Dati i vettori $\vec{A} = (5,0)\hat{x} + (1,0)\hat y$ , $\vec{B} = (3,0)\hat x + (4,0)\hat y$ :

disegna i vettori $\vec{A}$ e $\vec{B}$
disegna e calcola il modulo del vettore somma $\vec{S} = \vec{A} + \vec{B}$
disegna e calcola il modulo del vettore differenza $\vec{D} = \vec{A} - \vec{B}$

[ $S = 9,4$ ; $D = 3,6$ ]

11

Sull’espressione dei vettori tramite l’uso dei versori

Una mappa del tesoro riporta le seguenti istruzioni: “cammina $10 \ m$ verso nord, poi $5 \ m$ verso est, infine $3 \ m$ verso sud”.

Disegna i vettori relativi alle indicazioni
Esprimi i tre vettori usando i versori $\hat{x}$ e $\hat{y}$
Disegna il vettore somma dei tre e calcolane il modulo

[ $8,6 \ m$ ]

12

Sull’espressione dei vettori usando i versori

Dati i vettori in figura:

esercizio sui vettori

ricava le espressioni dei vettori usando i versori $\hat x$ e $\hat y$

13

Sul prodotto tra uno scalare ed un vettore

Dato lo scalare $a = 5$ e il vettore $\vec{B}$ di modulo $5,0 \ m$ , che forma un angolo di $30^\circ$ con l’asse x,

calcola il prodotto tra lo scalare e il vettore.

[ $aB = 25 \ m$ ]

14

Sul prodotto tra scalare e vettore

Dato lo scalare $a = 3$ e il vettore $\vec{B}$ di componenti $B_x = 3,0 \ m$ e $B_y = 1,0 \ m$ ,

calcola il prodotto tra lo scalare e il vettore.

[ $a\vec{B} = (9,0; \ 3,0) \ m$ ]

15

Sul prodotto scalare ed il prodotto vettoriale

Dati i vettori in figura (considera lo spazio tridimensionale, con asse z uscente dal foglio):

determina il loro prodotto scalare $\vec A \cdot \vec B$ e il prodotto vettoriale $\vec{A} \times \vec{B}$ .

[ $\vec{A} \cdot \vec{B} = 16$ ; $\vec A \times \vec B = (0; \ 0;\ -12)$ ]

16

Sul prodotto scalare e vettoriale

Dati i vettori in figura (considera lo spazio tridimensionale, con asse z uscente dal foglio):

esercizi vettori 16

determina il prodotto scalare,
determina il prodotto vettoriale $\vec{A} \times \vec{B}$

[ $30$ ; $-17\hat{z}$ ]

17

Sul calcolo dell’angolo partendo dalle componenti

Dato il vettore $\vec{A} = 5\hat{x} + 5\hat{y}$

Disegna il vettore
Calcola l’angolo che il vettore forma con l’asse $x$

[ $\theta = 45^{\circ}$ ]

18

Sul calcolo di una componente partendo dal prodotto scalare

Il prodotto scalare di due vettori è $\vec{A} \cdot \vec{B} = 10$ . Se il vettore $\vec{B}$ ha componenti $\vec{B} = (2,1)$ e la componente $y$ del vettore $\vec{A}$ è $A_y = 0$

Calcola la componente $A_x$

[ $A_x = 5$ ]

19

Sul calcolo dell’angolo usando il prodotto scalare

Dati i vettori $\vec{A}$ e $\vec{B}$ di modulo, rispettivamente, $|\vec{A}| = 4$ e $|\vec{B}| = 3$ il loro prodotto scalare è $\vec{A} \cdot \vec{B} = 6$

Calcola l’angolo tra i due vettori

[ $\theta = 60^{\circ}$ ]

20

Sul prodotto vettoriale tra versori

Calcola i seguenti prodotti vettoriali:

$\hat{x} \times \hat{x}$
$\hat{x} \times \hat{y}$

[ $\hat{x} \times \hat{x} = 0$ ; $\hat{x} \times \hat{y} = \hat{z}$ ]

21

Sul calcolo di una componente noto l’angolo

Una palla si trova in cima ad una salita la cui lunghezza orizzontale è $L = 10,2 \ m$ e di inclinazione pari a $\theta = 20,4^{\circ}$ , come mostrato in figura:

Calcola l’altezza $h$ della palla

[ $h = 3,8 \ m$ ]

22

Sul modulo del vettore somma

Luca e Paolo stanno camminando lungo un sentiero. Percorrono $800 \ m$ verso Nord fino a raggiungere un bivio. Scelgono quindi di continuare verso Nord-Est percorrendo un sentiero lungo $700 \ m$ la cui direzione forma un angolo $\theta = 30^{\circ}$ rispetto alla direzione Nord. In figura è mostrato schematicamente i vettori spostamento:

Calcola il modulo dello spostamento totale $\vec{C}$ di Luca e Paolo

[ $C = 1449 \ m$ ]

23

Sull’angolo tra due vettori

Siano $A_x = 5$ ed $A_y = 12$ le componenti del vettore $\vec{A}$ e siano $B_x = 3$ e $B_y = 4$ le componenti del vettore $\vec{B}$

Calcola l’angolo tra i due vettori
Disegna i due vettori

[ $14^{\circ}$ ]

24

Sulla somma di due vettori

Considera i due vettori $\vec{A}$ e $\vec{B}$ in figura:

Disegna il vettore $\vec{A} + \vec{B}$
Disegna il vettore $\vec{C}$ tale che $\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = 0$

25

Sulla somma delle componenti

Date le componenti $A_x = 3$ ed $A_y = 5$ del vettore $\vec{A}$ e le componenti $B_x = 1$ e $B_y = 5$ del vettore $\vec{B}$

Calcola le componenti del vettore $\vec{C} = 2\vec{A} - \vec{B}$

[ $C_x = 5, C_y = 5$ ]

26

Sulla perpendicolarità nel prodotto vettoriale – Caso 1

Dati $\vec{A} = (3,2,0)$ e $\vec{B} = (0,3,1)$

Esiste un vettore $\vec{V}$ tale che $\vec{A} \times \vec{V} = \vec{B}$ ?

[NO]

27

Sulla perpendicolarità nel prodotto vettoriale – Caso 2

Dati $\vec{A} = (3,2,0)$ e $\vec{B} = (0,0,1)$

Esiste un vettore $\vec{V}$ tale che $\vec{A} \times \vec{V} = \vec{B}$ ? Se sì, calcola le componenti di $\vec{V}$

[ $(-2/3V_y, V_y, 0)$ ]

28

Sul calcolo del prodotto vettoriale con la regola di Sarrus

Supponiamo di avere due vettori $\vec{A} = (1,0,-1)$ e $\vec{B} = (0,1,1)$

Calcola il prodotto vettoriale $\vec{A} \times \vec{B}$
Calcola il prodotto vettoriale $\vec{B} \times \vec{A}$

[ $\hat x - \hat y + \hat z$ ; $- \hat x + \hat y - \hat z$ ]

29

Sul calcolo del prodotto vettoriale di tre vettori – Caso 1

Supponiamo di avere tre vettori $\vec{A} = (1,0,-1)$ , $\vec{B} = (0,1,1)$ e $\vec{C} = (2,0,0)$

Calcola $\vec{C} \times (\vec{A} \times \vec{B})$

[ $- 2\hat y - 2\hat z$ ]

30

Sul calcolo del prodotto vettoriale di tre vettori – Caso 2

Consideriamo i tre vettori del problema precedente, $\vec{A} = (1,0,-1)$ , $\vec{B} = (0,1,1)$ e $\vec{C} = (2,0,0)$

Calcola ( $\vec{C} \times \vec{A}) \times \vec{B}$

[ $2\hat x$ ]

31

Sulla legge dei seni dalla somma vettoriale

Data la somma vettoriale $\vec{C} = \vec{A} + \vec{B}$ , mostrata qui in figura:

Ricava la legge dei seni

[ $\frac{C}{\sin\gamma} = \frac{B}{\sin\beta}$ ]

32

Che cosa è la legge di Carnot?

Data la differenza $\vec C$ di due vettori $\vec A$ e $\vec B$ mostrati in figura

Ricavare la legge del coseno, anche detta legge di Carnot

[ $C^2 = A^2 + B^2 - 2AB\cos\theta$ ]

33

Sulla legge di Carnot per trovare il modulo di un vettore

Consideriamo la figura seguente:

Sia $\vec C = \vec A + \vec B$ il vettore somma e sia $|\vec B| = 10$

Calcola il modulo $|\vec C|$ sapendo che $|\vec A| = 12$

[ $|\vec C| = 13$ ]

Link utili