Esercizi sul piano inclinato

Una raccolta di esercizi sul piano inclinato, uno dei temi più classici della fisica meccanica e un caso particolare di applicazione della forza peso, in cui la gravità agisce lungo una direzione non perpendicolare al piano di appoggio.
Viene usato per illustrare i principi fondamentali della meccanica, poiché consente di analizzare in modo semplice e intuitivo le forze in gioco e il moto risultante.

Proponiamo esercizi sul piano inclinato con soluzioni di varia difficoltà e tipologia, strutturati per aiutare gli studenti a familiarizzare con i concetti di forza, massa, accelerazione, attrito e gravità, con cui potrai mettere alla prova le tue conoscenze e le tue abilità di calcolo.
Includiamo anche problemi più complessi con presenza di funi, carrucole e molle, varianti di esercizi solitamente proposte in test di ingresso o concorsi pubblici.

Buono studio!

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Esercizi sul piano inclinato

1

Sul piano inclinato ed una forza

Un ragazzo trattiene una cassa di massa $m = 15 \, kg$ su di un pendio inclinato di $45^\circ$ applicando una forza $\vec F$ diretta come in figura.

Trascurando l’attrito, quanto vale la forza che esercita il ragazzo?
Se il ragazzo lascia andare la cassa, che arriva alla base del piano ad una velocità $v = 4,5\, m/s$ , quanto è lungo il tragitto percorso?

[ $F = 104 \, N$ ; $1,5 \, m$ ]

2

Sulla forza di attrito e coefficiente di attrito statico

Un blocco di legno è fermo su un piano inclinato di un angolo $\theta$ e non scivola per la presenza di attrito statico. Sia $\mu_s = 0,4$ il coefficiente di attrito statico ed $m = 10 \, kg$ la massa del blocco di legno.

Quanto vale l’angolo $\theta$ ?

[ $\theta = 21,8^\circ$ ]

3

Su un cubo che scivola lungo il piano

Sopra un piano inclinato di $\theta = 30^\circ$ e lungo $L = 20 \, cm$ un cubo di massa $m$ , inizialmente fermo sulla cima, scivola per effetto della forza peso.

Trascurando l’attrito, a che velocità il cubo arriva alla base del piano?

[ $v_{fin} = 1,4 \, m/s$ ]

4

Sul piano inclinato con forza di attrito e coefficiente di attrito dinamico

Supponiamo che nel problema precedente l’attrito non sia trascurabile e sia $\mu_d = 0,2$ il coefficiente di attrito dinamico.

A che velocità il cubo arriva alla base del piano?

[ $v_{fin} = 1,1 \, m/s$ ]

5

Su una cassa che scivola con data velocità iniziale

Una cassa di peso $400 \, kg$ è lanciata con velocità $v_0 = 14,5 \, m/s$ dalla cima di un piano inclinato liscio lungo $L = 1,0 \, m$ che forma un un angolo di $\theta$ rispetto al piano orizzontale. Dopo un tempo $t = 1,5 \, s$ la cassa arriva alla base del piano a velocità $v = 16,8 \, m/s$ .

Quanto vale l’angolo $\theta$ ?

[ $\theta = 9,0^\circ$ ]

6

Sull’esercizio precedente e cassa che scivola in presenza di attrito dinamico

Si consideri il problema precedente assumendo che la superficie sia e $\theta = 9,0^\circ$ e sia $\mu_d = 0,2$ il coefficiente di attrito dinamico.

A quale velocità $v_0$ deve essere lanciata la cassa affinché raggiunga la base del piano lungo $L = 1,0 \, m$ con velocità $v$ nulla?

[ $v_0 = 0,90 \, m/s$ ]

7

Sul piano inclinato senza attrito e una forza che agisce su di un corpo

Una cassa ferma di massa $m$ sulla cima di un piano inclinato di $\theta = 60^\circ$ , privo di attrito e lungo $L = 30 \, cm$ è soggetta ad una forza $F = 100 \, N$ come indicato in figura e raggiunge la base del piano con velocità $v = 4,0 \, m/s$ .

Quanto vale la massa $m$ ?

[ $m = 5,5 \, kg$ ]

8

Sull’accelerazione di una cassa che scivola

Una cassa di massa $m = 5 \, kg$ scivola su un piano inclinato liscio di altezza $h = 25 \, cm$ e base $b = 70 \, cm$ .

Quanto vale l’accelerazione $a$ della cassa?

[ $a = 3,3 \, m/s^2$ ]

9

Su una cassa lanciata con data velocità iniziale

Una cassa di massa $m = 10 \, kg$ viene lanciata dalla base di un piano inclinato di un angolo $\theta = 30^\circ$ con una velocità $v_0 = 5,0 \, m/s$ diretta come in figura. Sia $\mu_d = 0,2$ il coefficiente di attrito dinamico.

Quanto vale la lunghezza del tratto percorso dalla cassa prima di fermarsi?

[ $L = 1,9 \, m$ ]

10

Sulla forza motrice lungo un piano inclinato

Una macchina di massa $m = 210 \ kg$ si muove lungo un tratto di strada in salita inclinata di $\theta = 30^\circ$ . Il coefficiente di attrito dinamico tra la macchina e la strada è $\mu_d = 0,4$ e l’accelerazione con cui si sta muovendo la macchina è $a = 0,7 \ m/s^2$ .

Calcola l’intensità della forza motrice $F_M$ della macchina

[ $F_M = 1,9 \cdot 10^3 \ N$ ]

11

Sulla forza applicata ad una cassa lungo un piano inclinato

Una cassa di massa $m = 5,3 \ kg$ si muove con accelerazione $a = 1,4 \ m/s^2$ su di un piano inclinato di $\theta = 30^\circ$ per effetto di una forza $F$ diretta come in figura e che forma un angolo $\alpha = 15^\circ$ rispetto al piano. La superficie del piano è scabra ed il coefficiente di attrito dinamico tra la cassa ed il piano è $\mu_d = 0,3$ .

Nota bene: La cassa non si stacca mai dalla superficie!

esercizio sul piano inclinato con massa e forza applicata ad un dato angolo

Calcola l’intensità della forza $F$

[ $F = 45 \ N$ ]

12

Sul una cassa in moto lungo un piano inclinato scabro

Una cassa di massa $m$ viene lanciata con velocità iniziale $v_0$ lungo un piano inclinato scabro con coefficiente di attrito dinamico $\mu_d$ . La cassa si ferma dopo aver percorso $d$

Calcola l’espressione dell’angolo $\theta$ del piano.

13

Sul piano inclinato e la carrucola

Due casse di masse $m_1 = 4,5 \ kg$ ed $m_2 = 2,3 \ kg$ sono collegate da una fune ideale come mostrato in figura. La massa $m_2$ scivola senza attrito su un piano inclinato di $\theta = 45^\circ$

carrucola con due masse collegate da corda

Calcola l’accelerazione $a$ delle due casse

[ $a = 4,1 \ m/s^2$ ]

14

Sul piano inclinato con attrito e la carrucola

Due casse di masse $m_1 = 4,5 \ kg$ ed $m_2 = 2,3 \ kg$ sono collegate da una fune ideale come mostrato in figura. La massa $m_2$ scivola su un piano inclinato di $\theta = 45^\circ$ e tra la cassa e la superficie è presente attrito con coefficiente di attrito dinamico $\mu_d = 0,2$

carrucola con due masse collegate da corda in presenza di attrito

Calcola l’accelerazione $a$ delle due casse

[ $a = 3,7 \ m/s^2$ ]

15

Su due casse sul piano inclinato

Due casse di massa $m_1 = 0,8 \ kg$ ed $m_2 = 4,1 \ kg$ si muovono su di un piano inclinato di $\theta = 30^\circ$ in presenza di attrito con coefficiente di attrito dinamica tra la superficie e le casse pari a $\mu_d = 0,1$

Nota bene: I due corpi rimangono in contatto!

Calcola la forza che il corpo 2 applica sul corpo 1

[ $F_{21} = 4,4 \cdot 10^{-2} \ N$ ]

16

Sul piano inclinato e la molla

Due corpi di massa $m_1 = 4,3 \ kg$ ed $m_2 = 1,2 \ kg$ sono collegati tramite una fune ideale come mostrato in figura. Il corpo di massa $m_1$ si muove lungo un piano liscio inclinato di $\theta = 27^\circ$ , mentre il corpo di massa $m_2$ è collegato ad una molla di costante elastica $k$ . Se il corpo di massa $m_1$ smette di scivolare quando la molla si è allungata di $x = 2,5 \ cm$

Calcola la costante elastica $k$

[ $k = 2,9 \cdot 10^2 \ N/m$ ]

17

Su una cassa lanciata da una molla lungo un piano inclinato

Una cassa di massa $m = 5,4 \ kg$ è poggiata su di una molla di costante elastica $k = 8,0 \cdot 10^5 \ N/m$ inizialmente compressa di $x = 3,3 \ cm$ , come mostrato in figura. La cassa si stacca dalla molla con velocità $v_0$ e si muove lungo un piano inclinato di $\theta = 30^\circ$ fino a fermarsi ad un’altezza $h$ rispetto al punto da cui è partita

Calcola l’altezza $h$ raggiunta
Calcola la velocità iniziale $v_0$

[ $h = 8,4 \ m$ ; $v_0 = 13 \ m/s$ ]

18

Su una cassa collegata ad una molla

Una cassa di massa $m = 2,0 \ kg$ è collegata ad una molla di costante elastica $k$ . La cassa è libera di muoversi su di un piano liscio ed inclinato di $\theta = 30^\circ$ . All’equilibrio la molla si allunga di $x = 2,5 \ cm$

Calcola la costante elastica $k$ della molla

[ $k = 3,9 \cdot 10^2 \ N/m$ ]

19

Su una forza applicata ad una cassa su di un piano inclinato

Su una cassa di massa $m = 9,8 \ kg$ viene applicata una forza $F$ diretta come in figura. La cassa si muove su un piano scabro con coefficiente di attrito dinamico $\mu_d = 0,2$ ed inclinato di $\theta = 30^\circ$ salendo con un’accelerazione pari ad $a = 0,8 \ m/s^2$

Calcola il modulo della forza $F$ applicata

[ $F = 95 \ N$ ]

20

Sulla discesa lungo il piano inclinato

Una cassa di massa $m = 2,5 \ kg$ scivola lungo un piano inclinato di $\theta = 20^\circ$ con velocità iniziale $v_0 = 4,3 \ m/s$ . Il piano è scabro con coefficiente di attrito dinamico $\mu_d = 0,4$ e lungo $d = 2,5 \ m$ .

Calcola la velocità della cassa alla fine del piano

[ $v = 4,1 \ m/s$ ]

21

Sul lavoro delle forze nel piano inclinato

Una cassa di massa $m = 2,5 \ kg$ si muove lungo un piano liscio inclinato di $\theta = 30^\circ$ . La cassa si trova inizialmente ad un’altezza $h = 2,5 \ m$ , come mostrato in figura:

cassa che scivola lungo il piano

Calcola il lavoro $\mathcal{L}$ delle forze che agiscono sulla cassa per raggiungere la base del piano

[ $\mathcal{L} = 61 \ J$ ]

22

Sul coefficiente di attrito dinamico lungo il piano inclinato

Una biglia viene lanciata lungo un piano scabro ed inclinato di $\theta = 30^\circ$ con velocità iniziale $v_0 = 5,2 \ m/s$ . Il tratto di piano è lungo $\bar{AB} = 4,5 \ m$ . Una volta raggiunto il punto $B$ la biglia compie un moto parabolico fino a raggiungere il punto $C$ . La lunghezza del tratto $\bar{BC}$ è $\bar{BC} = 1,5 \ m$ .

biglia lanciata lungo il piano inclinato

Calcola il coefficiente di attrito dinamico $\mu_d$

[ $\mu_d = 0,44$ ]

23

Sul doppio piano inclinato e la carrucola

Su di un doppio piano liscio inclinato di $\theta_1 = 30^\circ$ e $\theta_2 = 60^\circ$ sono poggiate due masse di massa $m_1 = 4,2 \ kg$ ed $m_2 = 3,1 \ kg$ come mostrato in figura. Le masse sono collegate da una fune ideale

carrucola e due casse collegate da un cavo

Calcola l’accelerazione delle masse

[ $a = 0,80 \ m/s^2$ ]

24

Sul doppio piano inclinato, la carrucola e la molla

Su di un doppio piano liscio inclinato di $\theta_1 = 30^\circ$ e $\theta_2 = 60^\circ$ sono poggiate due masse di massa $m_1 = 4,2 \ kg$ ed $m_2 = 3,1 \ kg$ come mostrato in figura. Le masse sono collegate da una fune ideale. La massa $m_1$ è collegata ad una molla di costante elastica $k$ ed il sistema si ferma dopo che la molla si allunga di $x = 5,0 \ cm$

esercizio sul doppio piano inclinato con molla

Calcola la costante elastica della molla

[ $k = 1,1 \cdot 10^2 \ N/m$ ]

25

Sul lancio lungo un piano inclinato

Una biglia viene lanciata lungo un piano liscio inclinato di $\theta = 30^\circ$ di lunghezza $d = 6,5 \ m$ con velocità iniziale $v_0$ , come mostrato in figura. Un bersaglio si trova ad altezza $h = 2,2 \ m$ e distante $x = 5,0 \ m$ dal piano.

esercizio sul piano inclinato e una biglia lanciata

Calcola la velocità $v_0$ necessaria per raggiungere il bersaglio

[ $v_0 = 17 \ m/s$ ]

26

Sulla distanza percorsa lungo un piano inclinato prima di fermarsi

Una cassa di massa $m = 4,6 \ kg$ si muove con velocità iniziale $v_0 = 5,1 \ m/s$ lungo un piano con pendenza di $\theta = 30^\circ$ . Il piano è scabro con coefficiente di attrito dinamico tra la cassa ed il piano pari a $\mu_d = 0,60$ . Sulla cassa agisce una forza di modulo $F = 58 \ N$ diretta come in figura:

esercizio sul piano inclinato e una cassa con forza applicata

Calcola la lunghezza del tratto percorso $d$ prima che la cassa si fermi

[ $d = 2,4 \ m$ ]

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