Il piano inclinato - 5

Sul piano inclinato ed una cassa che scivola con data velocità iniziale

Una cassa di peso $400 \, kg$ è lanciata con velocità $v_0 = 14,5 \, m/s$ dalla cima di un piano inclinato liscio lungo $L = 1,0 \, m$ che forma un un angolo di $\theta$ rispetto al piano orizzontale. Dopo un tempo $t = 1,5 \, s$ la cassa arriva alla base del piano inclinato a velocità $v = 16,8 \, m/s$ .

Quanto vale l’angolo $\theta$ ?

Soluzione

Scegliamo un sistema di riferimento opportuno, come quello mostrato in figura, in cui l’asse delle x è parallelo alla superficie del piano inclinato e l’asse delle y è perpendicolare ad essa

Disegniamo tutte le forze che agiscono sulla cassa:

Le forze che agiscono sono la reazione vincolare $\vec{N}$ esercitata dal piano inclinato e la forza peso $\vec{P}$ della cassa.

La forza peso $\vec{P}$ deve essere scomposta nelle componenti $P_{\parallel}$ e $P_{\perp}$ , ovvero le proiezioni di $\vec{P}$ lungo gli assi x ed y, rispettivamente, del nostro sistema riferimento, come mostrato in figura:

La risultante $\vec{R}$ delle forze è:

$\vec{P} + \vec{N} = m\vec{a}$

Esplicitiamo i segni e dividiamo l’equazione in due equazioni, una lungo l’asse x ed una lungo l’asse y, ricordando che prendiamo il segno $+$ se il vettore ha lo stesso verso dell’asse x o y ed il segno $-$ se ha verso opposto

$\begin{align*}& (x): P_{\parallel} = ma\\& (y): N - P_{\perp} = 0 \end{align*}$

dove $a$ compare solo nell’equazione lungo x perchè il corpo si muove solo lungo questo asse.

Esplicitiamo le espressioni di $P_{\parallel}$ e $P_{\perp}$ e mettiamo a sistema:

$\begin{cases}mg\sin\theta = ma\\N - mg\cos\theta = 0 \end{cases}$

$\begin{cases}g\sin\theta = a\\N = mg\cos\theta \end{cases}$

La cassa si muove di moto uniformemente accelerato. Possiamo ricavarci l’espressione di $a$ dalla relazione:

$v = v_0 + at$

$a = \frac{v-v_0}{t} = 1,53 \, m/s^2$

Dall’espressione:

$g\sin\theta = a\\$

si ottiene:

$\theta = \sin^{-1}(a/g) = 9,0^{\circ} \\$