Il piano inclinato – 6

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Sull’esercizio precedente e cassa che scivola in presenza di attrito dinamico

Si consideri il problema precedente assumendo che il piano inclinato sia scabro e \theta = 9,0^\circ e sia \mu_d = 0,2 il coefficiente di attrito dinamico.

  • A quale velocità v_0 deve essere lanciata la cassa affinché raggiunga la base del piano inclinato lungo L = 1,0 \, m con velocità v nulla?

Soluzione

Consideriamo lo stesso sistema di riferimento usato nel problema 5:

Considerando anche la forza di attrito, disegniamo tutte le forze che agiscono sulla cassa:

La risultante \vec{R} delle forze è:

    \[\vec{F}_a + \vec{P} + \vec{N} = m\vec{a}\]

Esplicitiamo i segni e dividiamo l’equazione in due equazioni, una lungo l’asse x ed una lungo l’asse y, ricordando che prendiamo il segno + se il vettore ha lo stesso verso dell’asse x o y ed il segno - se ha verso opposto

    \begin{align*}& (x): - F_a + P_{\parallel} = ma\\& (y): N - P_{\perp} = 0 \end{align*}

dove a compare solo nell’equazione lungo x perchè il corpo si muove solo lungo questo asse.

Esplicitiamo le espressioni di \vec{F}_a, P_{\parallel} e P_{\perp} e mettiamo a sistema:

    \[\begin{cases}- \mu_dN + mg\sin\theta = ma\\N - mg\cos\theta = 0 \end{cases} \]

    \[\begin{cases}- \mu_dN + mg\sin\theta = ma\\N = mg\cos\theta\end{cases} \]

Sostituendo l’espressione di N nella prima equazione otteniamo:

    \[\begin{cases}- \mu_dmg\cos\theta + mg\sin\theta = ma\\N = mg\cos\theta \end{cases} \]

Consideriamo solo la prima equazione e semplifichiamo la massa m:

    \[- \mu_dg\cos\theta + g\sin\theta = a\\\]

Sostituiamo l’espressione trovata per a nell’equazione:

    \[v^2 - v_0^2 = 2aL\]

dove v = 0 \, m/s.

L’espressione finale sarà:

    \[v_0 = \sqrt{-2gL(\sin\theta-\mu_d\cos\theta)} = 0,90 \, m/s\]