Il piano inclinato - 9

Sul piano inclinato ed una cassa lanciata con data velocità iniziale

Una cassa di massa $m = 10 \, kg$ viene lanciata dalla base di un piano inclinato di un angolo $\theta = 30^\circ$ con una velocità $v_0 = 5,0 \, m/s$ diretta come in figura. Sia $\mu_d = 0,2$ il coefficiente di attrito dinamico.

Quanto vale la lunghezza del tratto percorso dalla cassa prima di fermarsi?

Soluzione

Scegliamo un sistema di riferimento opportuno, come quello mostrato in figura, in cui l’asse delle x è parallelo alla superficie del piano inclinato e l’asse delle y è perpendicolare ad essa

Disegniamo tutte le forze che agiscono sulla cassa:

Le forze che agiscono sono la forza di attrito $\vec{F}_a$ , la reazione vincolare $\vec{N}$ esercitata dal piano inclinato e la forza peso $\vec{P}$ della cassa.

La forza peso $\vec{P}$ deve essere scomposta nelle componenti $P_{\parallel}$ e $P_{\perp}$ , ovvero le proiezioni di $\vec{P}$ lungo gli assi x ed y, rispettivamente, del nostro sistema riferimento, come mostrato in figura:

La risultante $\vec{R}$ delle forze è:

$\vec{F}_a + \vec{P} + \vec{N} = m\vec{a}$

Esplicitiamo i segni e dividiamo l’equazione in due equazioni, una lungo l’asse x ed una lungo l’asse y, ricordando che prendiamo il segno $+$ se il vettore ha lo stesso verso dell’asse x o y ed il segno $-$ se ha verso opposto

$\begin{align*}& (x): - F_a - P_{\parallel} = ma\\& (y): N - P_{\perp} = 0 \end{align*}$

dove $a$ compare solo nell’equazione lungo x perchè il corpo si muove solo lungo questo asse.

Esplicitiamo le espressioni di $F_a$ , $P_{\parallel}$ e $P_{\perp}$ e mettiamo a sistema:

$\begin{cases}-\mu_dN - mg\sin\theta = ma\\N - mg\cos\theta = 0 \end{cases}$

Sostituiamo l’espressione di $N$ nell’equazione lungo x:

$\begin{cases}-\mu_dg\cos\theta - g\sin\theta = a\\N = mg\cos\theta \end{cases}$

da cui:

$a = -6,6 \, m/s^2$

La lunghezza $L$ del tratto che la cassa riesce a percorrere prima di fermarsi $(v_{fin} = 0 \, m/s)$ si ottiene dalla relazione:

$v_{fin}^2-v_0^2 = 2aL$

da cui:

$L = \frac{-v_0^2}{2a} = 1,9 \, m$