Il piano inclinato – 7

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Sul piano inclinato senza attrito e una forza che agisce su di un corpo

Una cassa ferma di massa m sulla cima di un piano inclinato di \theta = 60^\circ, privo di attrito e lungo L = 30 \, cm è soggetta ad una forza F = 100 \, N come indicato in figura e raggiunge la base del piano inclinato con velocità v = 4,0 \, m/s.

  • Quanto vale la massa m?

Soluzione

Scegliamo un sistema di riferimento opportuno, come quello mostrato in figura, in cui l’asse delle x è parallelo alla superficie del piano inclinato e l’asse delle y è perpendicolare ad essa

Disegniamo tutte le forze che agiscono sulla cassa:

Le forze che agiscono sono \vec{F}, la reazione vincolare \vec{N} esercitata dal piano inclinato e la forza peso \vec{P} della cassa.

La forza peso \vec{P} deve essere scomposta nelle componenti P_{\parallel} e P_{\perp}, ovvero le proiezioni di \vec{P} lungo gli assi x ed y, rispettivamente, del nostro sistema riferimento, come mostrato in figura:

La risultante \vec{R} delle forze è:

    \[\vec{F} + \vec{P} + \vec{N} = m\vec{a}\]

L’accelerazione a della cassa si può ricavare dall’espressione:

    \[v^2 - v_0^2 = 2aL\]

dove v_0^2 = 0 \, m/s essendo inizialmente la cassa ferma.

Quindi:

    \[a = \frac{v^2}{2L}\]

e ricordando di convertire L = 30 \, cm = 0,3 \, m si ottiene:

    \[a = \frac{v^2}{2L} = 26,7 \, m/s^2\]

Esplicitiamo i segni e dividiamo l’equazione in due equazioni, una lungo l’asse x ed una lungo l’asse y, ricordando che prendiamo il segno + se il vettore ha lo stesso verso dell’asse x o y ed il segno - se ha verso opposto

    \begin{align*}& (x): F + P_{\parallel} = ma\\& (y): N - P_{\perp} = 0 \end{align*}

dove a compare solo nell’equazione lungo x perchè il corpo si muove solo lungo questo asse.

Esplicitiamo le espressioni di P_{\parallel} e P_{\perp} e mettiamo a sistema:

    \[\begin{cases}F + mg\sin\theta = ma\\N - mg\cos\theta = 0 \end{cases} \]

Consideriamo solo l’equazione lungo l’asse x:

    \[F + mg\sin\theta = ma\\\]

da cui:

    \[m = \frac{F}{a-g\sin\theta} = 5,5 \, kg\]