Il piano inclinato – 16

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Sul piano inclinato e la molla

Due corpi di massa $m_1 = 4,3 \ kg$ ed $m_2 = 1,2 \ kg$ sono collegati tramite una fune ideale come mostrato in figura. Il corpo di massa $m_1$ si muove lungo un piano liscio inclinato di $\theta = 27^\circ$ , mentre il corpo di massa $m_2$ è collegato ad una molla di costante elastica $k$ . Se il corpo di massa $m_1$ smette di scivolare quando la molla si è allungata di $x = 2,5 \ cm$

Calcola la costante elastica $k$

Soluzione

Disegniamo un opportuno sistema di riferimento per il corpo 1 e per il corpo 2 e le forze che entrano in gioco:

Scriviamo le equazioni lungo l’asse x ed y per il corpo 1:

$\begin{align*}\begin{cases}P_{\parallel} - T_1 = m_1a_1 \\N - P_{\perp} = 0\end{cases}\end{align*}$

Esplicitiamo le forze in gioco:

$\begin{align*}& P_{\parallel} = m_1g\sin \theta \\& P_{\perp} = m_1g \cos \theta\end{align*}$

per cui sostituendo:

$\begin{align*}\begin{cases}m_1g\sin \theta - T_1 = m_1a_1 \\N - m_1g \cos \theta = 0\end{cases}\end{align*}$

Per il corpo 2 il moto avviene solo lungo l’asse y per cui:

$T_2 - P_2 - F_{el} = m_2a_2$

Esplicitiamo le forze in gioco:

$\begin{align*}& P_2 = m_2g \\& F_{el} = kx\end{align*}$

per cui sostituendo:

$T_2 - m_2g - kx = m_2a_2$

Ricordiamo che dal momento che la fune è ideale, le tensioni ai capi di della fune sono identiche, ovvero:

$T_1 = T_2 = T$

I due corpi si muoveranno con la stessa accelerazione, per cui se il corpo 1 si ferma anche il corpo 2 si fermerà per cui possiamo scrivere:

$\begin{align*}\begin{cases}m_1g\sin \theta - T = 0 \\T - m_2g - kx = 0\end{cases}\end{align*}$

Sommando le due espressioni otteniamo:

$m_1g\sin \theta - m_2g - kx = 0$

da cui otteniamo:

$k = \frac{m_1g\sin \theta - m_2g}{x} = 2,9 \cdot 10^2 \ N/m$