Il piano inclinato - 15

Su due casse sul piano inclinato

Due casse di massa $m_1 = 0,8 \ kg$ ed $m_2 = 4,1 \ kg$ si muovono su di un piano inclinato di $\theta = 30^\circ$ in presenza di attrito con coefficiente di attrito dinamica tra il piano e le casse pari a $\mu_d = 0,1$

Nota bene: I due corpi rimangono in contatto!

Calcola la forza che il corpo 2 applica sul corpo 1

Soluzione

Prima di tutto disegniamo le forze che agiscono sulle casse ed un opportuno sistema di riferimento. Per semplicità e per non appesantire troppo la figura disegniamo prima le forze che agiscono sul corpo 1:

e poi le forze che agiscono sul corpo di massa 2:

Osserviamo dalla figura che la forza peso $\vec{P}$ per le due casse è stata scomposta nelle sue componenti $P_{\parallel}$ e $P_{\perp}$ .

Inoltre, abbiamo chiamato $\vec{F}_{12}$ la forza di contatto che il corpo 1 applica sul corpo 2 ed $\vec{F}_{21}$ la forza di contatto che il corpo 2 applica sul corpo 1. Ricordiamo che queste due forze rappresentano delle forze interne al sistema, quindi vale:

$F_{12} = F_{21}$

Scriviamo ora le equazioni lungo l’asse x ed y per il corpo 1:

$\begin{align*}\begin{cases}P_{1,\parallel} + F_{21} - F_{1,attr} = m_1a_1 \\N_1 - P_{1,\perp} = 0\end{cases}\end{align*}$

Esplicitiamo le forze in gioco:

$\begin{align*}& F_{attr} = \mu_dN_1 \\& P_{\parallel} = m_1g\sin \theta \\& P_{\perp} = m_1g \cos \theta\end{align*}$

Sostituendo nel sistema otteniamo:

$\begin{align*}\begin{cases}m_1g\sin \theta + F_{21} - \mu_dN_1 = m_1a_1 \\N_1 - m_1g \cos \theta = 0\end{cases}\end{align*}$

Dal momento che nella seconda espressione del sistema otteniamo:

$N_1 = m_1g \cos \theta$

possiamo sostituire la reazione vincolare $N_1$ nella prima espressione e scrivere:

$m_1g\sin \theta + F_{21} - \mu_dm_1g \cos \theta = m_1a_1$

Ripetiamo quanto fatto per il corpo 2. Le equazioni lungo gli assi sono:

$\begin{align*}\begin{cases}P_{2,\parallel} - F_{12} - F_{1,attr} = m_2a_2 \\N_2 - P_{2,\perp} = 0\end{cases}\end{align*}$

Esplicitiamo le forze in gioco:

$\begin{align*}& F_{attr} = \mu_dN_2 \\& P_{\parallel} = m_2g\sin \theta \\& P_{\perp} = m_2g \cos \theta\end{align*}$

Sostituendo nel sistema otteniamo:

$\begin{align*}\begin{cases}m_2g\sin \theta - F_{12} - \mu_dN_2 = m_2a_2 \\N_2 - m_2g \cos \theta = 0\end{cases}\end{align*}$

Dal momento che nella seconda espressione del sistema otteniamo:

$N_2 = m_2g \cos \theta$

possiamo sostituire la reazione vincolare $N_2$ nella prima espressione e scrivere:

$m_2g\sin \theta - F_{12} - \mu_dm_2g \cos \theta = m_2a_2$

Dal momento che i due corpi rimangono a contatto si muoveranno con la stessa accelerazione, ovvero:

$a_1 = a_2 = a$

Scriviamo ora le due equazioni che abbiamo ottenuto per i corpi 1 e 2:

$\begin{align*}\begin{cases}m_1g\sin \theta + F_{21} - \mu_dm_1g \cos \theta = m_1a \\m_2g\sin \theta - F_{12} - \mu_dm_2g \cos \theta = m_2a \end{cases}\end{align*}$

Sommiamo le due espressioni, ricordando che $F_{12} = F_{21}$ , per cui:

$(m_1+m_2)g\sin \theta - \mu_d(m_1+m_2)g\cos \theta = (m_1+m_2)a$

da cui ricaviamo:

$a = g\sin \theta - \mu_dg\cos \theta = 4,1 \ m/s^2$

Per calcolare la forza $F_{21}$ , ovvero la forza esercitata dal corpo 2 sul corpo 1, basta prendere l’equazione:

$m_1g\sin \theta + F_{21} - \mu_dm_1g \cos \theta = m_1a$

da cui otteniamo:

$F_{21} = m_1a + \mu_dm_1g\cos \theta - m_1g\sin \theta = 4,4 \cdot 10^{-2} \ N$