Il piano inclinato – 11

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Sulla forza applicata ad una cassa lungo un piano inclinato

Una cassa di massa m = 5,3 \ kg si muove con accelerazione a = 1,4 \ m/s^2 su di un piano inclinato di \theta = 30^\circ per effetto di una forza F diretta come in figura e che forma un angolo \alpha = 15^\circ rispetto al piano inclinato. La superficie del piano inclinato è scabra ed il coefficiente di attrito dinamico tra la cassa ed il piano è \mu_d = 0,3.

Nota bene: La cassa non si stacca mai dal piano inclinato!

esercizio sul piano inclinato con massa e forza applicata ad un dato angolo
  • Calcola l’intensità della forza F

Soluzione

Innanzitutto disegniamo le forze che agiscono sulla cassa ed un opportuno sistema di riferimento:

Osserviamo dalla figura che la forza peso \vec{P} è stata scomposta nelle sue componenti P_{\parallel} e P_{\perp} così come la forza F che trascina la cassa.

Consideriamo la risultante delle forze (ovvero la somma di tutte le forze) lungo l’asse x e lungo l’asse y:

    \begin{align*}\begin{cases}F_{\parallel} - F_{attr} - P_{\parallel} = ma_x \\N - P_{\perp} + F_{\perp} = 0\end{cases}\end{align*}

dove ricordiamo che la cassa si sta muovendo solo lungo l’asse x, ovvero rimane sempre a contatto con il piano senza mai staccarsi, per cui a_y = 0 e a_x = a.

Esplicitiamo le forze:

    \begin{align*}& F_{attr} = \mu_dN \\& P_{\parallel} = mg\sin \theta \\& P_{\perp} = mg \cos \theta \\& F_{\parallel} = F\cos \alpha \\& F_{\perp} = F\sin \alpha\end{align*}

Sostituendo nel sistema otteniamo:

    \begin{align*}\begin{cases}F\cos \alpha - \mu_dN -mg\sin \theta = ma \\N - mg \cos \theta + F\sin \alpha = 0\end{cases}\end{align*}

dove a_x = a. Dal momento che nella seconda espressione del sistema otteniamo:

    \[N = mg \cos \theta - F\sin \alpha\]

possiamo sostituire la reazione vincolare N nella prima espressione e scrivere:

    \[F\cos \alpha - \mu_d(mg\cos \theta - F\sin \alpha) - mg\sin \theta = ma\]

da cui, tramite semplici passaggi matematici, otteniamo:

    \[F(\cos \alpha + \mu_d\sin \alpha) = ma + mg\sin \theta + \mu_dmg\cos \theta\]

e quindi:

    \[F = \frac{ma + mg\sin \theta + \mu_dmg\cos \theta}{\cos \alpha + \mu_d\sin \alpha}\]

Sostituendo i dati forniti dal problema:

    \[F = 45 \ N\]