Il piano inclinato – 3

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Sul piano inclinato ed un cubo che scivola

Sopra un piano inclinato di \theta = 30^\circ e lungo L = 20 \, cm un cubo di massa m, inizialmente fermo sulla cima del piano, scivola per effetto della forza peso.

  • Trascurando l’attrito, a che velocità il cubo arriva alla base del piano inclinato?

Soluzione

Scegliamo un sistema di riferimento opportuno, come quello mostrato in figura, in cui l’asse delle x è parallelo alla superficie del piano inclinato e l’asse delle y è perpendicolare ad essa

Disegniamo tutte le forze che agiscono sulla cassa:

Le forze che agiscono sono la reazione vincolare \vec{N} esercitata dal piano inclinato e la forza peso \vec{P} della cassa.

La forza peso \vec{P} deve essere scomposta nelle componenti P_{\parallel} e P_{\perp}, ovvero le proiezioni di \vec{P} lungo gli assi x ed y, rispettivamente, del nostro sistema riferimento, come mostrato in figura:

La risultante \vec{R} delle forze è:

    \[\vec{P} + \vec{N} = m\vec{a}\]

Esplicitiamo i segni e dividiamo l’equazione in due equazioni, una lungo l’asse x ed una lungo l’asse y, ricordando che prendiamo il segno + se il vettore ha lo stesso verso dell’asse x o y ed il segno - se ha verso opposto

    \begin{align*}& (x): P_{\parallel} = ma\\& (y): N - P_{\perp} = 0 \end{align*}

dove a compare solo nell’equazione lungo x perchè il corpo si muove solo lungo questo asse.

Esplicitiamo le espressioni di P_{\parallel} e P_{\perp} e mettiamo a sistema:

    \[\begin{cases}mg\sin\theta = ma\\N - mg\cos\theta = 0 \end{cases} \]

    \[\begin{cases}g\sin\theta = a\\N = mg\cos\theta \end{cases} \]

Consideriamo solo l’equazione lungo l’asse x e sostituiamo l’espressione trovata per a nell’equazione:

    \[v_{fin}^2 - v_{ini}^2 = 2aL\]

L’espressione per la velocità finale sarà:

    \[& v_{fin}^2 = v_{ini}^2 + 2gLsin\theta\]

dove v_{ini} = 0 \, m/s.

Ricordandoci di convertire L = 20 \, cm = 0,2 \, m, otteniamo:

    \[v_{fin} = \sqrt{2gL\sin30^{\circ}} = 1,4 \, m/s \]