Il piano inclinato – 2

2

Sulla forza di attrito e coefficiente di attrito statico

Un blocco di legno è fermo su un piano inclinato di un angolo \theta e non scivola per la presenza di attrito statico. Sia \mu_s = 0,4 il coefficiente di attrito statico ed m = 10 \, kg la massa del blocco di legno.

  • Quanto vale l’angolo \theta?

Soluzione

Scegliamo un sistema di riferimento opportuno, come quello mostrato in figura, in cui l’asse delle x è parallelo alla superficie del piano inclinato e l’asse delle y è perpendicolare ad essa e disegniamo tutte le forze che agiscono sulla cassa:

Le forze che agiscono sono la forza di attrito \vec{F}_a, la reazione vincolare \vec{N} esercitata dal piano inclinato e la forza peso \vec{P} della cassa.

La forza peso \vec{P} deve essere scomposta nelle componenti P_{\parallel} e P_{\perp}, ovvero le proiezioni di \vec{P} lungo gli assi x ed y, rispettivamente, del nostro sistema riferimento, come mostrato in figura:

Dal momento che il corpo rimane fermo, la risultante \vec{R} delle forze può essere uguagliata a 0:

    \[\vec{F}_a + \vec{P} + \vec{N} = 0\]

Esplicitiamo i segni e dividiamo l’equazione in due equazioni, una lungo l’asse x ed una lungo l’asse y, ricordando che prendiamo il segno + se il vettore ha lo stesso verso dell’asse x o y ed il segno - se ha verso opposto

    \begin{align*}& (x): F_a - P_{\parallel} = 0\\& (y): N - P_{\perp} = 0 \end{align*}

Esplicitiamo le espressioni di \vec{F}_a, P_{\parallel} e P_{\perp} e mettiamo a sistema:

    \[\begin{cases}\mu_sN - mg\sin\theta = 0\\N - mg\cos\theta = 0 \end{cases}\]

    \[\begin{cases}\mu_sN = mg\sin\theta\\N = mg\cos\theta \end{cases}\]

Sostituendo N nella prima equazione del sistema otteniamo:

    \[\mu_s mg\cos\theta = mg\sin\theta\]

Dividendo entrambi i membri per \cos\theta:

    \[\tan\theta = \mu_s\]

Da cui:

    \[\theta = \tan^{-1}(\mu_s) = 21,8^{\circ}\]