Il piano inclinato - 10

Sulla forza motrice lungo un piano inclinato

Una macchina di massa $m = 210 \ kg$ si muove lungo un tratto di strada in salita inclinata di $\theta = 30^\circ$ . Il coefficiente di attrito dinamico tra la macchina e la strada è $\mu_d = 0,4$ e l’accelerazione con cui si sta muovendo la macchina è $a = 0,7 \ m/s^2$ .

Calcola l’intensità della forza motrice $F_M$ della macchina

Soluzione

Disegniamo innanzitutto le forze che agiscono sulla macchina (che per semplicità rappresenteremo come un quadrato) ed un opportuno sistema di riferimento:

Osserviamo dalla figura che la forza peso $\vec{P}$ è stata scomposta nelle sue componenti $P_{\parallel}$ e $P_{\perp}$ .

Consideriamo la risultante delle forze (ovvero la somma di tutte le forze) lungo l’asse x e lungo l’asse y:

$\begin{align*}\begin{cases}F_M - F_{attr} - P_{\parallel} = ma_x \\N - P_{\perp} = 0\end{cases}\end{align*}$

dove ricordiamo che la macchina si sta muovendo solo lungo l’asse x, ovvero rimane sempre a contatto con la strada senza mai staccarsi da terra, per cui $a_y = 0$ e $a_x = a$ .

Esplicitiamo le forze:

$\begin{align*}& F_{attr} = \mu_dN \\& P_{\parallel} = mg\sin \theta \\& P_{\perp} = mg \cos \theta\end{align*}$

Sostituendo nel sistema otteniamo:

$\begin{align*}\begin{cases}F_M - \mu_dN - mg\sin \theta = ma \\N - mg \cos \theta = 0\end{cases}\end{align*}$

dove $a_x = a$ . Dal momento che nella seconda espressione del sistema otteniamo:

$N = mg \cos \theta$

possiamo sostituire la reazione vincolare $N$ nella prima espressione e scrivere:

$F_M - \mu_dmg\cos \theta - mg\sin \theta = ma$

Tramite dei semplici passaggi matematici otteniamo infine:

$F_M = ma + \mu_dmg\cos \theta + mg\sin \theta$

e sostituendo i dati nel problema:

$F_M = 210 \cdot 0,7 + 0,4 \cdot 210 \cdot 9,81 \cdot \cos 30^\circ + 210 \cdot 9,81 \cdot \sin 30^\circ = 1,9 \cdot 10^3 \ N$