Il piano inclinato – 26

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Sulla distanza percorsa lungo un piano inclinato prima di fermarsi

Una cassa di massa m = 4,6 \ kg si muove con velocità iniziale v_0 = 5,1 \ m/s lungo un piano inclinato di \theta = 30^\circ. Il piano è scabro con coefficiente di attrito dinamico tra la cassa ed il piano pari a \mu_d = 0,60. Sulla cassa agisce una forza di modulo F = 58 \ N diretta come in figura:

  • Calcola la lunghezza del tratto percorso d prima che la cassa si fermi

Soluzione

Innanzitutto, disegniamo le forze che agiscono sulla cassa ed un opportuno sistema di riferimento:

Osserviamo dalla figura che la forza peso \vec{P} è stata scomposta nelle sue componenti P_{\parallel} e P_{\perp}, così come la forza applicata F

Consideriamo la risultante delle forze (ovvero la somma di tutte le forze) lungo l’asse x e lungo l’asse y:

    \begin{align*}\begin{cases}F_{\parallel} - P_{\parallel} - F_{attr} = ma_x \\N - P_{\perp} - F_{\perp}= 0\end{cases}\end{align*}

dove ricordiamo che la cassa si sta muovendo solo lungo l’asse x, ovvero rimane sempre a contatto con il piano senza mai staccarsi, per cui a_y = 0 e a_x = a.

Esplicitiamo le forze:

    \begin{align*}& F_{attr} = \mu_dN \\& P_{\parallel} = mg\sin \theta \\& P_{\perp} = mg \cos \theta \\& F_{\parallel} = F\cos \theta \\& F_{\perp} = F\sin \theta\end{align*}

Sostituendo otteniamo:

    \begin{align*}\begin{cases}F\cos \theta - mg\sin \theta - \mu_dN = ma \\N - mg \cos \theta - F\sin \theta = 0\end{cases}\end{align*}

Dal momento che nella seconda espressione del sistema otteniamo:

    \[N = mg \cos \theta + F\sin \theta\]

possiamo sostituire la reazione vincolare N nella prima espressione e scrivere:

    \[F\cos \theta - mg\sin \theta - \mu_d(mg \cos \theta + F\sin \theta) = ma \]

da cui otteniamo:

    \[a = \frac{F\cos \theta - mg\sin \theta - \mu_d(mg \cos \theta + F\sin \theta)}{m} = - 5,4 \ m/s^2\]

Dalla legge della velocità nel moto uniformemente accelerato:

    \[v = v_0 + at\]

sapendo che quando il corpo si fermerà v = 0 possiamo calcolare il tempo necessario affinché la cassa si fermi:

    \[t = - \frac{v_0}{a} = 0,94 \ s\]

La distanza percorso sarà quindi pari a:

    \[d = v_0t + \frac{1}{2}at^2 = 2,4 \ m\]