Il piano inclinato – 22

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Sul coefficiente di attrito dinamico lungo il piano inclinato

Una biglia viene lanciata lungo un piano scabro ed inclinato di \theta = 30^\circ con velocità iniziale v_0 = 5,2 \ m/s. Il tratto di piano inclinato è lungo \bar{AB} = 4,5 \ m. Una volta raggiunto il punto B la biglia compie un moto parabolico fino a raggiungere il punto C. La lunghezza del tratto \bar{BC} è \bar{BC} = 1,5 \ m.

  • Calcola il coefficiente di attrito dinamico \mu_d

Soluzione

Innanzitutto calcoliamo la velocità nel punto B, partendo dalla definizione di gittata:

    \[\bar{BC} = \frac{2v_{0x}v_{0y}}{g} = \frac{2v^2_B\cos \theta \sin \theta}{g}\]

dove la traiettoria percorsa è la seguente mostrata in figura:

In questo modo otteniamo:

    \[v_B = \sqrt{\frac{\bar{BC}g}{2\sin \theta \cos \theta}} = 4,1 \ m/s\]

Nota la velocità in B possiamo calcolare il coefficiente di attrito dinamico partendo dalla relazione:

    \[v_B^2 - v_A^2 = 2a\bar{AB}\]

Per poter usare la relazione precedente è necessario calcolare l’accelerazione a. Disegniamo quindi le forze che agiscono sulla biglia ed un opportuno sistema di riferimento:

L’accelerazione sul piano inclinato si ricava partendo dalla somma delle forze lungo gli assi:

    \begin{align*}\begin{cases}-F_{attr} - P_{\parallel} = ma \\N - P_{\perp} = 0\end{cases}\end{align*}

Esplicitando le forze in gioco:

    \begin{align*}& F_{attr} = \mu_dN \\& P_{\parallel} = mg\sin \theta \\& P_{\perp} = mg\cos \theta\end{align*}

Sostituendo otteniamo:

    \begin{align*}\begin{cases}-mg\sin \theta - \mu_dN = ma \\N - mg \cos \theta = 0\end{cases}\end{align*}

Dal momento che nella seconda espressione del sistema otteniamo:

    \[N = mg \cos \theta\]

possiamo sostituire la reazione vincolare N nella prima espressione e scrivere:

    \[- mg\sin \theta - \mu_dmg \cos \theta = ma \]

da cui ricaviamo:

    \[a = - g\sin \theta - \mu_dg \cos \theta\]

Sostituendo nell’espressione del moto uniformemente accelerato otteniamo:

    \[v_B^2 - v_A^2 = 2(- g\sin \theta - \mu_dg \cos \theta)\bar{AB}\]

da cui ricaviamo:

    \[\mu_d = \frac{1}{g\cos \theta}\bigg(\frac{v_B^2 - v_A^2}{2\bar{AB}} + g\sin \theta \bigg) = 0,44\]