Il piano inclinato – 14

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Sul piano inclinato con attrito e la carrucola

Due casse di masse m_1 = 4,5 \ kg ed m_2 = 2,3 \ kg sono collegate da una fune ideale come mostrato in figura. La massa m_2 scivola su un piano inclinato di \theta = 45^\circ e tra la cassa ed il piano è presente attrito con coefficiente di attrito dinamico \mu_d = 0,2

carrucola con due masse collegate da corda in presenza di attrito
  • Calcola l’accelerazione a delle due casse

Soluzione

Disegniamo le forze che agiscono sulle due casse ed un sistema di riferimento opportuno per la cassa sul piano inclinato e per quella appesa alla fune:

Osserviamo dalla figura che la forza peso \vec{P} per la cassa di massa m_2 è stata scomposta nelle sue componenti P_{\parallel} e P_{\perp}.

Consideriamo la risultante delle forze (ovvero la somma di tutte le forze) lungo l’asse x e lungo l’asse y per la casse di massa m_2:

    \begin{align*}\begin{cases}T - P_{\parallel} - F_{attr} = m_2a_2 \\N - P_{\perp} = 0\end{cases}\end{align*}

dove ricordiamo che la cassa si sta muovendo solo lungo l’asse x, ovvero rimane sempre a contatto con il piano senza mai staccarsi, per cui a_y = 0 e a_x = a.

Esplicitiamo le forze:

    \begin{align*}& F_{attr} = \mu_dN \\& P_{\parallel} = m_2g\sin \theta \\& P_{\perp} = m_2g \cos \theta\end{align*}

Sostituendo nel sistema otteniamo:

    \begin{align*}\begin{cases}T - \mu_dN - m_2g\sin \theta = m_2a_2 \\N - m_2g \cos \theta = 0\end{cases}\end{align*}

Dal momento che nella seconda espressione del sistema otteniamo:

    \[N = m_2g \cos \theta\]

possiamo sostituire la reazione vincolare N nella prima espressione e scrivere:

    \[T - \mu_dm_2g\cos \theta - m_2g\sin \theta = m_2a_2\]

Per la cassa di massa m_1 invece il moto avviene solo lungo l’asse y, quindi:

    \[-T + P = m_1a_1\]

Ricordiamo che in questo caso a_1 = a_2 = a e le tensioni ai capi della fune sono identiche dal momento che si tratta di una fune ideale. Mettiamo a sistema le due espressioni trovate:

    \begin{align*}\begin{cases}T - \mu_dm_2g\cos \theta - m_2g\sin \theta = m_2a \\-T + m_1g = m_1a\end{cases}\end{align*}

Sommiamo le due espressioni ed otteniamo:

    \[(m_1 - m_2\sin \theta - \mu_dm_2\cos \theta)g = (m_1 + m_2)a\]

da cui:

    \[a = \frac{(m_1 - m_2\sin \theta - \mu_dm\cos \theta)g}{m_1 + m_2} = 3,7 \ m/s^2\]