Il piano inclinato - 21

Sul lavoro delle forze nel piano inclinato

Una cassa di massa $m = 2,5 \ kg$ si muove lungo un piano liscio inclinato di $\theta = 30^\circ$ . La cassa si trova inizialmente ad un’altezza $h = 2,5 \ m$ , come mostrato in figura:

Calcola il lavoro $\mathcal{L}$ delle forze che agiscono sulla cassa per raggiungere la base del piano

Soluzione

Disegniamo le forze che agiscono sulla cassa ed un opportuno sistema di riferimento:

Osserviamo dalla figura che la forza peso $\vec{P}$ è stata scomposta nelle sue componenti $P_{\parallel}$ e $P_{\perp}$ .

Dal momento che il lavoro è definito come:

$\mathcal{L} = \vec{F} \cdot \vec{x} = Fx\cos \alpha$

dove $\vec{x}$ rappresenta lo spostamento, osserviamo che avendo a che fare con un prodotto scalare il lavoro non tiene conto delle forze che agiscono perpendicolarmente alla cassa, ovvero la reazione vincolare $\vec{N}$ e la componente perpendicolare della forza peso $P_{\perp}$ .

Calcoliamoci la lunghezza del piano sfruttando la trigonometria:

$x = \frac{h}{\sin 30^\circ} = 5,0 \ m$

L’angolo $\alpha$ compreso tra la forza peso $\vec{P}$ e lo spostamento $\vec{x}$ è il complementare dell’angolo formato dal piano con l’orizzontale, come mostrato in figura:

Quindi:

$\mathcal{L} = Px\cos (90^\circ - 30^\circ) = mgx\cos 60^\circ = 61 \ J$