Il piano inclinato - 1

Sul piano inclinato ed una forza

Un ragazzo trattiene una cassa di massa $m = 15 \, kg$ su di un pendio inclinato di $45^\circ$ applicando una forza $\vec F$ diretta come in figura.

Trascurando l’attrito, quanto vale la forza che esercita il ragazzo?
Se il ragazzo lascia andare la cassa, che arriva alla base del piano inclinato ad una velocità $v = 4,5\, m/s$ , quanto è lungo il tragitto percorso?

Soluzione

Scegliamo un sistema di riferimento opportuno, come quello mostrato in figura, in cui l’asse delle x è parallelo alla superficie del piano inclinato e l’asse delle y è perpendicolare ad essa

Disegniamo tutte le forze che agiscono sulla cassa:

Le forze che agiscono, oltre alla forza $\vec{F}$ esercitata dal ragazzo, sono la reazione vincolare $\vec{N}$ esercitata dal piano inclinato e la forza peso $\vec{P}$ della cassa.

La forza peso $\vec{P}$ deve essere scomposta nelle componenti $P_{\parallel}$ e $P_{\perp}$ , ovvero le proiezioni di $\vec{P}$ lungo gli assi x ed y, rispettivamente, del nostro sistema riferimento, come mostrato in figura:

Dal momento che il corpo rimane fermo, la risultante $\vec{R}$ delle forze può essere uguagliata a 0:

$\vec{F} + \vec{P} + \vec{N} = 0$

Esplicitiamo i segni e dividiamo l’equazione in due equazioni, una lungo l’asse x ed una lungo l’asse y, ricordando che prendiamo il segno $+$ se il vettore ha lo stesso verso dell’asse x o y ed il segno $-$ se ha verso opposto:

$\begin{align*}& (x): F - P_{\parallel} = 0\\& (y): N - P_{\perp} = 0 \end{align*}$

Esplicitiamo le espressioni di $P_{\parallel}$ e $P_{\perp}$

$\begin{align*}& (x): F - mg\sin(45^{\circ}) = 0\\& (y): N - mg\cos(45^{\circ}) = 0 \end{align*}$

Sfruttando l’equazione lungo l’asse (x) otteniamo:

$F = mg\sin(45^{\circ}) = 104 \, N$

dove $g = 9,81 \, m/s^2$ è l’accelerazione gravitazionale

Se il ragazzo lascia andare la cassa, la lunghezza del tragitto percorso si può ottenere dalla relazione:

$v_{fin}^2 - v_{ini}^2 = 2a\Delta x$

dove $\Delta x$ è la lunghezza del tragitto percorso ed $a$ l’accelerazione della cassa.

Nel momento in cui la cassa inizia a scendere, la cassa è soggetta alla sola componente $P_{\parallel}$ della forza peso:

$mg\sin\theta = ma$

da cui:

$\Delta x = \frac{v_{fin}^2 - v_{ini}^2}{2g\sin\theta} = 1,5 \, m$