Il piano inclinato - 25

Sul lancio lungo un piano inclinato

Una biglia viene lanciata lungo un piano liscio inclinato di $\theta = 30^\circ$ di lunghezza $d = 6,5 \ m$ con velocità iniziale $v_0$ , come mostrato in figura. Un bersaglio si trova ad altezza $h = 2,2 \ m$ e distante $x = 5,0 \ m$ dal piano inclinato

Calcola la velocità $v_0$ necessaria per raggiungere il bersaglio

Soluzione

Innanzitutto calcoliamo la velocità nel punto $B$ , partendo dalla definizione di traiettoria, dove la traiettoria percorsa è la seguente mostrata in figura:

$h = \frac{v_{By}}{v_{Bx}}x - \frac{g}{2v_{Bx}^2}x^2$

dove $v_{Bx} = v_B\cos \theta$ e $v_{By} = v_B\sin \theta$

Sostituendo otteniamo:

$h = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}x - \frac{g}{2v_B^2\cos^2 \theta}x^2$

da cui otteniamo:

$v_B = \sqrt{\bigg(\frac{g}{2\cos^2 \theta}x^2 \bigg) \bigg(\frac{1}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}x - h}\bigg)} = 15 \ m/s$

Nota la velocità in $B$ possiamo calcolare la velocità iniziale partendo dalla seguente relazione per il moto uniformemente accelerato

$v_B^2 - v_0^2 = 2ad$

Disegniamo quindi le forze che agiscono sulla biglia ed un opportuno sistema di riferimento:

L’accelerazione sul piano inclinato si ricava partendo dalla somma delle forze lungo gli assi:

$\begin{align*}\begin{cases}- P_{\parallel} = ma \\N - P_{\perp} = 0\end{cases}\end{align*}$

Esplicitando le forze in gioco:

$\begin{align*}& P_{\parallel} = mg\sin \theta \\& P_{\perp} = mg\cos \theta\end{align*}$

Sostituendo otteniamo:

$\begin{align*}\begin{cases}-mg\sin \theta = ma \\N - mg \cos \theta = 0\end{cases}\end{align*}$

da cui ricaviamo:

$a = - g\sin \theta = - 4,9 \ m/s^2$

Per cui, riprendendo la formula precedente:

$v_B^2 - v_0^2 = 2ad$

otteniamo:

$v_0 = \sqrt{v_B^2 - 2ad} = 17 \ m/s$