Il piano inclinato – 20

20

Sulla discesa lungo il piano inclinato

Una cassa di massa m = 2,5 \ kg scivola lungo un piano inclinato di \theta = 20^\circ con velocità iniziale v_0 = 4,3 \ m/s. Il piano è scabro con coefficiente di attrito dinamico \mu_d = 0,4 e lungo d = 2,5 \ m.

  • Calcola la velocità della cassa alla fine del piano inclinato

Soluzione

Innanzitutto disegniamo le forze che agiscono sulla cassa ed un opportuno sistema di riferimento:

Osserviamo dalla figura che la forza peso \vec{P} è stata scomposta nelle sue componenti P_{\parallel} e P_{\perp}.

Consideriamo la risultante delle forze (ovvero la somma di tutte le forze) lungo l’asse x e lungo l’asse y:

    \begin{align*}\begin{cases}P_{\parallel} - F_{attr} = ma_x \\N - P_{\perp} = 0\end{cases}\end{align*}

dove ricordiamo che la cassa si sta muovendo solo lungo l’asse x, ovvero rimane sempre a contatto con il piano senza mai staccarsi, per cui a_y = 0 e a_x = a.

Esplicitiamo le forze:

    \begin{align*}& F_{attr} = \mu_dN \\& P_{\parallel} = mg\sin \theta \\& P_{\perp} = mg \cos \theta \end{align*}

Sostituendo otteniamo:

    \begin{align*}\begin{cases}mg\sin \theta - \mu_dN = ma \\N - mg \cos \theta = 0\end{cases}\end{align*}

Dal momento che nella seconda espressione del sistema otteniamo:

    \[N = mg \cos \theta\]

possiamo sostituire la reazione vincolare N nella prima espressione e scrivere:

    \[mg\sin \theta - \mu_dmg \cos \theta = ma \]

da cui ricaviamo:

    \[a = g\sin \theta - \mu_dg \cos \theta\]

Per calcolare la velocità finale dopo aver percorso il piano inclinato lungo d basta applicare la seguente formula:

    \[v^2 - v_0^2 = 2ad\]

per cui:

    \[v = \sqrt{2(g\sin \theta - \mu_dg \cos \theta)d + v_0^2} = 4,1 \ m/s\]