Il piano inclinato – 8

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Sull’accelerazione di una cassa che scivola

Una cassa di massa m = 5 \, kg scivola su un piano inclinato liscio di altezza h = 25 \, cm e base b = 70 \, cm.

  • Quanto vale l’accelerazione a della cassa?

Soluzione

Scegliamo un sistema di riferimento opportuno, come quello mostrato in figura, in cui l’asse delle x è parallelo alla superficie del piano inclinato e l’asse delle y è perpendicolare ad essa

Disegniamo tutte le forze che agiscono sulla cassa:

Le forze che agiscono sono la reazione vincolare \vec{N} esercitata dal piano inclinato e la forza peso \vec{P} della cassa.

La forza peso \vec{P} deve essere scomposta nelle componenti P_{\parallel} e P_{\perp}, ovvero le proiezioni di \vec{P} lungo gli assi x ed y, rispettivamente, del nostro sistema riferimento, come mostrato in figura:

La risultante \vec{R} delle forze è:

    \[\vec{P} + \vec{N} = m\vec{a}\]

Esplicitiamo i segni e dividiamo l’equazione in due equazioni, una lungo l’asse x ed una lungo l’asse y, ricordando che prendiamo il segno + se il vettore ha lo stesso verso dell’asse x o y ed il segno - se ha verso opposto

    \begin{align*}& (x): P_{\parallel} = ma\\& (y): N - P_{\perp} = 0 \end{align*}

dove a compare solo nell’equazione lungo x perchè il corpo si muove solo lungo questo asse.

Esplicitiamo le espressioni di P_{\parallel} e P_{\perp} e mettiamo a sistema:

    \[\begin{cases}mg\sin\theta = ma\\N - mg\cos\theta = 0 \end{cases} \]

    \[\begin{cases}g\sin\theta = a\\N = mg\cos\theta \end{cases} \]

L’angolo \theta si ricava dalla seguente relazione:

    \[\theta = \tan^{-1}(h/b) = 19,7^{\circ}\]

da cui:

    \[a = g\sin\theta = 3,3 \, m/s^2\]