Il piano inclinato - 23

Sul doppio piano inclinato e la carrucola

Su di un doppio piano liscio inclinato di $\theta_1 = 30^\circ$ e $\theta_2 = 60^\circ$ sono poggiate due masse di massa $m_1 = 4,2 \ kg$ ed $m_2 = 3,1 \ kg$ come mostrato in figura. Le masse sono collegate da una fune ideale

Calcola l’accelerazione delle masse

Soluzione

Innanzitutto disegniamo le forze che agiscono sulle due casse e due opportuni sistemi di riferimenti per le due casse:

Consideriamo la somma delle forze per il corpo 1 ed il corpo 2 nella direzione del moto, ovvero solo lungo l’asse x:

$\begin{align*}\begin{cases}T_1 - P_{1,\parallel} = m_1a_1 \\P_{2,\parallel} - T_2 = m_2a_2\end{cases}\end{align*}$

Dal momento che la fune è ideale possiamo scrivere $T_1 = T_2 = T$ . Inoltre, le due masse avranno la stessa accelerazione per cui $a_1 = a_2 = a$ .

Esplicitiamo le forze:

$\begin{align*}& P_{1,\parallel} = m_1g\sin \theta_1 \\& P_{2,\parallel} = m_2g\sin \theta_2\end{align*}$

Sommiamo le due equazioni ottenute per il corpo 1 e 2 e sostituiamo le espressioni delle forze:

$m_2g\sin \theta_2 - m_1g\sin \theta_1 = (m_1+ m_2)a$

da cui:

$a = \frac{m_2g\sin \theta_2 - m_1g\sin \theta_1}{m_1+ m_2} = 0,80 \ m/s^2$