Il piano inclinato – 12

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Sul una cassa in moto lungo un piano inclinato scabro

Una cassa di massa m viene lanciata con velocità iniziale v_0 lungo un piano inclinato scabro con coefficiente di attrito dinamico \mu_d. La cassa si ferma dopo aver percorso d

  • Calcola l’espressione dell’angolo \theta del piano inclinato

Soluzione

Disegniamo le forze che agiscono sulla cassa ed un sistema di riferimento opportuno:

Osserviamo dalla figura che la forza peso \vec{P} è stata scomposta nelle sue componenti P_{\parallel} e P_{\perp}.

Consideriamo la risultante delle forze (ovvero la somma di tutte le forze) lungo l’asse x e lungo l’asse y:

    \begin{align*}\begin{cases}- F_{attr} - P_{\parallel} = ma_x \\N - P_{\perp} = 0\end{cases}\end{align*}

dove ricordiamo che la cassa si sta muovendo solo lungo l’asse x, ovvero rimane sempre a contatto con il piano senza mai staccarsi, per cui a_y = 0 e a_x = a.

Esplicitiamo le forze:

    \begin{align*}& F_{attr} = \mu_dN \\& P_{\parallel} = mg\sin \theta \\& P_{\perp} = mg \cos \theta\end{align*}

Sostituendo nel sistema otteniamo:

    \begin{align*}\begin{cases}- \mu_dN - mg\sin \theta = ma \\N - mg \cos \theta = 0\end{cases}\end{align*}

dove a_x = a. Dal momento che nella seconda espressione del sistema otteniamo:

    \[N = mg \cos \theta\]

possiamo sostituire la reazione vincolare N nella prima espressione e scrivere:

    \[- \mu_dmg\cos \theta - mg\sin \theta = ma\]

Così facendo possiamo esplicitare il valore dell’accelerazione a che ci sarà utile poi:

    \[a = - \mu_dg\cos \theta - g\sin \theta\]

Dal testo del problema sappiamo che la velocità iniziale con cui viene lanciata la cassa è v_0 mentre la velocità finale è v = 0, quindi possiamo usare la legge del moto uniformemente accelerato:

    \[v^2 - v_0^2 = 2ad$\]

dove d è la distanza percorsa prima di fermarsi. Sostituendo l’espressione di a e ricordando che v = 0 otteniamo:

    \[-v_0^2 = 2(- \mu_dg\cos \theta - g\sin \theta)d\]

L’equazione appena ottenuta è tutt’altro che banale. Per risolverla, dobbiamo prima sfruttare la relazione fondamentale della trigonometria:

    \[\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1\]

ed ottenere:

    \[\cos \theta = \sqrt{1-\sin^2 \theta}\]

In questo modo otteniamo:

    \[\frac{v_0^2}{2d} = \mu_d\sqrt{1-\sin^2\theta} + g\sin \theta\]

Scriviamo di seguito in dettaglio tutti i passaggi necessari per risolvere l’equazione:

    \[\frac{1}{\mu_d}\bigg(\frac{v_0^2}{2d} - g\sin \theta \bigg) = \sqrt{1 - \sin^2 \theta}\]

    \[\frac{1}{\mu^2_d}\bigg(\frac{v_0^2}{2d} - g\sin \theta \bigg)^2 = 1 - \sin^2 \theta\]

    \[\frac{1}{\mu^2_d}\bigg(\frac{v_0^4}{4d^2} + g^2\sin^2 \theta - \frac{v_0^2g}{d}\sin \theta \bigg) = 1 - \sin^2 \theta\]

    \[\bigg( \frac{g^2}{\mu^2_d} + 1 \bigg) \sin^2 \theta - \frac{v_0^2g}{\mu^2_dd}\sin \theta + \frac{1}{\mu^2_d}\frac{v_0^4}{4d^2} - 1 = 0\]

Questa è un’equazione di secondo grado nella variabile \sin \theta:

    \[\sin \theta_{1,2} = \frac{\frac{v_0^2g}{\mu_d^2d} \pm \sqrt{\frac{v_0^4g^2}{\mu_d^4d^2} - 4\bigg(\frac{g^2}{\mu^2_d} + 1\bigg)\bigg(\frac{v_0^4}{4\mu^2_dd^2} - 1 \bigg)}}{2\bigg(\frac{g^2}{\mu^d} + 1 \bigg)}\]

da cui otteniamo:

    \[\theta_1 = \sin^{-1}\bigg( \frac{\frac{v_0^2g}{\mu_d^2d} + \sqrt{\frac{v_0^4g^2}{\mu_d^4d^2} - 4\bigg(\frac{g^2}{\mu^2_d} + 1\bigg)\bigg(\frac{v_0^4}{4\mu^2_dd^2} - 1 \bigg)}}{2\bigg(\frac{g^2}{\mu^d} + 1 \bigg)}\bigg)\]

e

    \[\theta_2 = \sin^{-1} \bigg(\frac{\frac{v_0^2g}{\mu_d^2d} - \sqrt{\frac{v_0^4g^2}{\mu_d^4d^2} - 4\bigg(\frac{g^2}{\mu^2_d} + 1\bigg)\bigg(\frac{v_0^4}{4\mu^2_dd^2} - 1 \bigg)}}{2\bigg(\frac{g^2}{\mu^d} + 1 \bigg)}\bigg)\]