Il piano inclinato - 13

Sul piano inclinato e la carrucola

Due casse di masse $m_1 = 4,5 \ kg$ ed $m_2 = 2,3 \ kg$ sono collegate da una fune ideale come mostrato in figura. La massa $m_2$ scivola senza attrito su un piano inclinato di $\theta = 45^\circ$

carrucola con due masse collegate da corda

Calcola l’accelerazione $a$ delle due casse

Soluzione

Disegniamo le forze che agiscono sulle due casse ed un sistema di riferimento opportuno per la cassa sul piano inclinato e per quella appesa alla fune:

Osserviamo dalla figura che la forza peso $\vec{P}$ per la cassa di massa $m_2$ è stata scomposta nelle sue componenti $P_{\parallel}$ e $P_{\perp}$ .

Consideriamo la risultante delle forze (ovvero la somma di tutte le forze) lungo l’asse x e lungo l’asse y per la casse di massa $m_2$ :

$\begin{align*}\begin{cases}T - P_{\parallel} = m_2a_2 \\N - P_{\perp} = 0\end{cases}\end{align*}$

dove ricordiamo che la cassa si sta muovendo solo lungo l’asse x, ovvero rimane sempre a contatto con il piano senza mai staccarsi, per cui $a_y = 0$ e $a_x = a$ .

Per la cassa di massa $m_1$ invece il moto avviene solo lungo l’asse y, quindi:

$-T + P = m_1a_1$

Ricordiamo che in questo caso $a_1 = a_2 = a$ e le tensioni ai capi della fune sono identiche dal momento che si tratta di una fune ideale. Ricordando che $P_{\parallel} = m_2g\sin \theta$ :

$\begin{align*}\begin{cases}T - m_2g\sin \theta = m_2a \\-T + m_1g = m_1a_1\end{cases}\end{align*}$

Sommiamo le due espressioni ed otteniamo:

$(m_1 - m_2\sin \theta)g = (m_1 + m_2)a$

da cui:

$a = \frac{(m_1 - m_2\sin \theta)g}{m_1 + m_2} = 4,1 \ m/s^2$