Esercizi sugli errori di misura

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In questa pagina troverete una raccolta di esercizi svolti sugli errori di misura. Si tratta di problemi di varia difficoltà che affrontano la stima degli errori assoluti, relativi e percentuali, la propagazione dell’errore nelle operazioni matematiche e l’uso corretto delle cifre significative. Ogni esercizio è accompagnato da una soluzione guidata, pensata per chiarire il metodo e i passaggi da seguire.

Gli errori di misura sono un aspetto fondamentale di ogni attività sperimentale in fisica: ogni grandezza misurata porta con sé un margine di incertezza che va riconosciuto e trattato correttamente. Imparare a stimare e a gestire gli errori permette di interpretare in modo più consapevole i dati sperimentali e di comunicare risultati attendibili e significativi.

Questa raccolta è pensata per studenti di scuole superiori e appassionati di scienze fisiche che desiderano approfondire le proprie conoscenze e migliorare le proprie capacità di problem-solving. Speriamo che vi sia utile nel vostro percorso di studio e vi fornisca una solida base per affrontare con sicurezza le sfide poste dalla termodinamica. Buono studio!

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Esercizi svolti sugli errori di misura

1

Sul calcolo della media e dell’errore assoluto

Un gruppo di ragazzi misura la larghezza di una porta di calcio ottenendo le seguenti misure:

    \begin{align*}&x_1 = 7,33 \ m; \ x_2 = 7,36 \ m; \ x_3 = 7,32 \ m;\\&x_4 = 7,31 \ m; \ x_5 = 7,37 \ m\end{align*}

  • Calcola la media aritmetica
  • Calcola l’errore assoluto

[7,34 \ m; 0,03 \ m]

Soluzione
2

Sul calcolo del valor medio e della semidispersione

Per mantenerti in forma, decidi di fare almeno 7000 passi al giorno. Con un contapassi registri i tuoi dati giornalieri, ottenendo in una settimana i seguenti risultati:

    \begin{align*}&g_1 = 7230; g_2 = 7646; g_3 = 7453\\&g_4 = 7034; g_5 = 7023; g_6 = 7256\\&g_7 = 7987\end{align*}

  • Determina valor medio, la semidispersione e presenta il risultato

[(7376 \pm 482) passi]

Soluzione
3

Sul calcolo dell’errore

Considera l’esercizio precedente. Scopri che il contapassi commette un errore del 2% nelle misurazioni.

  • Determina il totale dei passi che hai fatto nella settimana e l’errore di questa somma.

[(51629 \pm 1033) passi]

Soluzione
4

Sul calcolo della media e della semidispersione

Misuri diverse volte la lunghezza di un’asta di legno e ottieni le seguenti misure:

    \begin{align*}&x_1 = 2,89 \ m; \ x_2 = 2,86 \ m; \ x_3 = 2,87 \ m; \\&x_4 = 2,90 \ m; \ x_5 = 2,87 \ m; \ x_6 = 2,84 \ m; \end{align*}

  • Calcola il valor medio
  • Calcola la semidispersione massima
  • Presenta il risultato

[(2,87 \pm 0,03) \, m]

Soluzione
5

Sulla scrittura corretta del risultato

Viene misurata l’altezza dei muri di una stanza con un metro, di sensibilità 0,01 \ m. Il risultato della misura è 2,80 \ m.

  • Presenta il risultato

[(2,80 \pm 0,01) \, m]

Soluzione
6

Sull’errore percentuale

Durante una gara di corsa, il vincitore completa il percorso in 23,30 \ s. Il tempo è stato preso con un cronometro di sensibilità 0,01 \ s.

  • Calcola l’errore percentuale del risultato di misura

[0,04 \%]

Soluzione
7

Sul calcolo del perimetro e la sua incertezza

Misuri i lati di un banco di legno rettangolare con un metro di sensibilità 1 \ cm. Ottieni i dati 1,31 \ m e 60 \ cm.

  • Presenta le misurazioni in maniera corretta
  • Determina la misura del perimetro del banco

[(131 \pm 1) \ cm; (60 \pm 1) \ cm; (382 \pm 4) \ cm]

Soluzione
8

Sul calcolo dell’area e la sua incertezza

Misuri il lato di un tavolo quadrato ottenendo a = (70,0 \pm 0,1) \ cm.

  • Calcola l’area con la sua incertezza

[(490 \pm 1)\times 10^{-3} \ m^2]

Soluzione
9

Sulla sensibilità dello strumento come errore assoluto

I risultati in grammi sono i seguenti:

107107 108108107108107 107
  • Calcola il valore attendibile e l’errore assoluto

[Suggerimento: La sensibilità dello strumento è il più piccolo valore che lo strumento può misurare]

[x = 107 \pm 1 \g]

Soluzione
10

Sulle cifre significative

Dopo esserti misurato 10 volte su una bilancia il valore attendibile del tuo peso è \bar{m} = 108 \ kg con un errore assoluto e_m = 12 \kg

  • Presenta il risultato con le giuste cifre significative

[m = (1,1 \pm 0,1) \cdot 10^2 \kg]

Soluzione
11

Sulla presentazione di una misura

Spiega perché il risultato della misura x = (3,14 \pm 0,32) \ m è sbagliato e scrivi la misura correttamente

[x = (3,1 \pm 0,3) \ m]

Soluzione
12

Su due misure concordi

Luca e Francesco misurano la lunghezza del banco di scuola. Luca misura una lunghezza x_L = (1,2 \pm 0,2) \ m mentre Francesco misura x_F = (1,8 \pm 0,6) \ m

  • Le due misure sono in accordo?

[Sì]

Soluzione
13

Un semplice esercizio sull’errore relativo

La misura della lunghezza di un corridoio è x_c = (53,6 \pm 0,3) \ m mentre la misura della lunghezza di un banco di scuola è x_b = (1,4 \pm 0,2) \ m

  • Quale misura è più precisa?

[La misura di x_c]

Soluzione
14

Un semplice esercizio sull’errore percentuale

Consideriamo i dati del problema precedente:

  • Quanto vale l’errore percentuale della misura della lunghezza del corridoio e della misura della lunghezza del banco di scuola?

[\epsilon_{x_c} = 0,6 \%;\epsilon_{x_b} = 10 \%]

Soluzione
15

Sull’errore relativo e percentuale di una misura ripetuta

Durante un esperimento misuri con un cronometro il tempo di caduta di una palla da tennis dalla cima di un palazzo. Le misure riportate in secondi (s) sono le seguenti:

5,66,15,24,9
  • Calcola l’errore percentuale

[\epsilon_x = 10 \%]

Soluzione
16

Sul calcolo dell’errore assoluto partendo dell’errore percentuale

Luca misura la lunghezza di un campo di calcio e ottiene una misura pari a x = 103 \ m con un errore percentuale pari al 4 \%

  • Calcola l’errore assoluto della misura fatta da Luca

[e_x=4 \ m]

Soluzione
17

Sull’errore percentuale della costante dielettrica del vuoto

La costante dielettrica del vuoto \epsilon_0 vale:

    \[\epsilon_0 = (8,854 \pm 0,010) \cdot 10^{-12} \ C^2 N^{-1}m^{-2}\]

  • Calcola l’errore percentuale

[\epsilon_x = 0,11 \%]

Soluzione
18

Sull’accordo di due serie di misure ripetute

Luca effettua quattro misure della massa m di un cubo di piombo ottenendo i seguenti risultati in kg:

1,141,211,191,17

Francesco effettua poi altre quattro misure sullo stesso cubo ottenendo:

1,081,131,091,15
  • Calcola e presenta i risultati delle due serie di misure
  • I risultati sono in accordo?

[Suggerimento: Fai attenzione alle cifre significative!]

[m_L = (1,18 \pm 0,04) \ kg;m_F = (1,11 \pm 0,04) \ kg]

Soluzione
19

Sulla propagazione degli errori per la somma di due grandezze

Il peso di quattro mele riportate da una bilancia è m_1 = (450 \pm 5) \ g. Vengono poi aggiunte sulla bilancia altre mele dal peso di m_2 = (250 \pm 3) \ g

  • Calcola il peso totale m_{tot}

[m_{tot} = (700 \pm 8) \ g]

Soluzione
20

Sull’incertezza di misura per la differenza di due grandezze

Luca sale sulla bilancia ed il suo peso è m_1 = (78,3 \pm 0,5) \ kg. Dopo essersi accorto di essere salito con le scarpe decide di togliersele e pesarsi di nuovo. Se le scarpe pesano m_2 = (0,8 \pm 0,1) \ kg

  • Calcola il peso m_L di Luca dopo essersi tolto le scarpe

[m_L = (77,5 \pm 0,6) \ kg]

Soluzione
21

Sull’errore di misura del prodotto di una grandezza per un numero

Il lato maggiore di un rettangolo misura a = (1,2 \pm 0,2) \ m mentre il lato minore misura b = 0,8 \pm 0,2) \ m

  • Calcola il perimetro del rettangolo

[p = (4,0 \pm 0,8) \ m]

Soluzione
22

Sulla propagazione degli errori per il rapporto di una grandezza per un numero

L’area di un quadrato è pari a A = (1,2 \pm 0,4) \ m^2

  • Calcola l’area di un rettangolo sapendo che è pari ad 1/4 l’area del quadrato

[A_r = (0,3 \pm 0,1) \ m^2]

Soluzione
23

Sulla propagazione degli errori per il prodotto di due grandezze

Il lato di un quadrato misura L = (1,9 \pm 0,1) \ m

  • Calcola l’area del quadrato

[A = (3,6 \pm 0,4) \ m^2]

Soluzione
24

Sull’incertezza di misura per il rapporto di due grandezze

All’interno di un volume pari a V = (1,0 \pm 0,1) \ m^3 sono contenuti m = (916 \pm 1) \kg di olio di oliva

  • Calcola la densità dell’olio

[d = (916 \pm 92) \ kg/m^3]

Soluzione
25

Un esercizio sulla propagazione degli errori

Il diametro di un cerchio è pari a d = (15,0 \pm 0,2) \ cm

  • Calcola la circonferenza del cerchio
  • Calcola l’area del cerchio

[L = (47,0 \pm 0,6) \ cm;A = (177 \pm 4) \ cm^2]

Soluzione
26

Sulla propagazione degli errori per il calcolo del volume

Una scatola ha dimensioni a = (14,3 \pm 0,2) \ cm, b = (12,5 \pm 0,2) \ cm e a = (9,3 \pm 0,2) \ cm

  • Calcola il volume della scatola

[V = (1,7 \pm 0,1) \ dm^3]

Soluzione