Esercizi sugli errori di misura

esercizi errori di misura

In questa pagina troverete una raccolta di esercizi svolti sugli errori di misura (o incertezza di misura), un argomento fondamentale per la fisica sperimentale.
Gli esercizi proposti riguardano la determinazione degli errori assoluti e relativi, il calcolo degli errori propagati nelle operazioni aritmetiche, l’uso delle cifre significative e degli arrotondamenti, la semidispersione e la semidispersione massima.
Ogni problema è corredato di una soluzione dettagliata.

Lo scopo di questa raccolta di esercizi svolti sugli errori di misura è di fornirvi un’opportunità di verifica e approfondimento delle vostre conoscenze sul tema degli errori di misura e delle tecniche di analisi dei dati.

Avete trovato qualche refuso? Scriveteci pure: info@gophysics.it

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FAQ

Data una serie di n misure x_1 \, , \, x_2 \, , \, x_3 \, , ... \, x_n il valor medio è dato dal rapporto tra la somma delle misure e il loro numero n:

    \[\overline x = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}\]

Data una serie di misure, l’errore assoluto è dato dalla differenza tra la misura massima e la misura minima, diviso 2:

    \[e_{ass} = \frac{x_{max} - x_{min}}{2}\]

Il valor medio di una singola misura è il valore attendibile, ovvero il risultato della misura.

Nel caso di una singola misura l’errore assoluto e_{x} è pari alla sensibilità dello strumento (ovvero la più piccola quantità misurabile dallo strumento).

L’errore relativo \epsilon_r è definito come l’errore assoluto diviso il valore medio (o valore attendibile):

    \[\epsilon_{r} = \frac{e_x}{\overline x}\]

Ricorda che l’errore relativo non ha unità di misura!

L’errore percentuale \epsilon_{\%} è definito come l’errore relativo moltiplicato per 100\%

    \[\epsilon_{\%} = \epsilon_r \cdot 100\%\]

Ricorda che l’errore percentuale non ha unità di misura!

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Esercizi svolti sugli errori di misura

1

Sul calcolo della media e dell’errore assoluto

Un gruppo di ragazzi misura la larghezza di una porta di calcio ottenendo le seguenti misure:

    \begin{align*}&x_1 = 7,33 \ m; \ x_2 = 7,36 \ m; \ x_3 = 7,32 \ m;\\&x_4 = 7,31 \ m; \ x_5 = 7,37 \ m\end{align*}

  • Calcola la media aritmetica
  • Calcola l’errore assoluto

[7,34 \ m; 0,03 \ m]

Soluzione
2

Sul calcolo del valor medio e della semidispersione

Per mantenerti in forma, decidi di fare almeno 7000 passi al giorno. Con un contapassi registri i tuoi dati giornalieri, ottenendo in una settimana i seguenti risultati:

    \begin{align*}&g_1 = 7230; g_2 = 7646; g_3 = 7453\\&g_4 = 7034; g_5 = 7023; g_6 = 7256\\&g_7 = 7987\end{align*}

  • Determina valor medio, la semidispersione e presenta il risultato

[(7376 \pm 482) passi]

Soluzione
3

Sul calcolo dell’errore

Considera l’esercizio precedente. Scopri che il contapassi commette un errore del 2% nelle misurazioni.

  • Determina il totale dei passi che hai fatto nella settimana e l’errore di questa somma.

[(51629 \pm 1033) passi]

Soluzione
4

Sul calcolo della media e della semidispersione

Misuri diverse volte la lunghezza di un’asta di legno e ottieni le seguenti misure:

    \begin{align*}&x_1 = 2,89 \ m; \ x_2 = 2,86 \ m; \ x_3 = 2,87 \ m; \\&x_4 = 2,90 \ m; \ x_5 = 2,87 \ m; \ x_6 = 2,84 \ m; \end{align*}

  • Calcola il valor medio
  • Calcola la semidispersione massima
  • Presenta il risultato

[(2,87 \pm 0,03) \, m]

Soluzione
5

Sulla scrittura corretta del risultato

Viene misurata l’altezza dei muri di una stanza con un metro, di sensibilità 0,01 \ m. Il risultato della misura è 2,80 \ m.

  • Presenta il risultato

[(2,80 \pm 0,01) \, m]

Soluzione
6

Sull’errore percentuale

Durante una gara di corsa, il vincitore completa il percorso in 23,30 \ s. Il tempo è stato preso con un cronometro di sensibilità 0,01 \ s.

  • Calcola l’errore percentuale del risultato di misura

[0,04 \%]

Soluzione
7

Sul calcolo del perimetro e la sua incertezza

Misuri i lati di un banco di legno rettangolare con un metro di sensibilità 1 \ cm. Ottieni i dati 1,31 \ m e 60 \ cm.

  • Presenta le misurazioni in maniera corretta
  • Determina la misura del perimetro del banco

[(131 \pm 1) \ cm; (60 \pm 1) \ cm; (382 \pm 4) \ cm]

Soluzione
8

Sul calcolo dell’area e la sua incertezza

Misuri il lato di un tavolo quadrato ottenendo a = (70,0 \pm 0,1) \ cm.

  • Calcola l’area con la sua incertezza

[(490 \pm 1)\times 10^{-3} \ m^2]

Soluzione
9

Sulla sensibilità dello strumento come errore assoluto

I risultati in grammi sono i seguenti:

107107 108108107108107 107
  • Calcola il valore attendibile e l’errore assoluto

[Suggerimento: La sensibilità dello strumento è il più piccolo valore che lo strumento può misurare]

[x = 107 \pm 1 \g]

Soluzione
10

Sulle cifre significative

Dopo esserti misurato 10 volte su una bilancia il valore attendibile del tuo peso è \bar{m} = 108 \ kg con un errore assoluto e_m = 12 \kg

  • Presenta il risultato con le giuste cifre significative

[m = (1,1 \pm 0,1) \cdot 10^2 \kg]

Soluzione
11

Sulla presentazione di una misura

Spiega perché il risultato della misura x = (3,14 \pm 0,32) \ m è sbagliato e scrivi la misura correttamente

[x = (3,1 \pm 0,3) \ m]

Soluzione
12

Su due misure concordi

Luca e Francesco misurano la lunghezza del banco di scuola. Luca misura una lunghezza x_L = (1,2 \pm 0,2) \ m mentre Francesco misura x_F = (1,8 \pm 0,6) \ m

  • Le due misure sono in accordo?

[Sì]

Soluzione
13

Un semplice esercizio sull’errore relativo

La misura della lunghezza di un corridoio è x_c = (53,6 \pm 0,3) \ m mentre la misura della lunghezza di un banco di scuola è x_b = (1,4 \pm 0,2) \ m

  • Quale misura è più precisa?

[La misura di x_c]

Soluzione
14

Un semplice esercizio sull’errore percentuale

Consideriamo i dati del problema precedente:

  • Quanto vale l’errore percentuale della misura della lunghezza del corridoio e della misura della lunghezza del banco di scuola?

[\epsilon_{x_c} = 0,6 \%;\epsilon_{x_b} = 10 \%]

Soluzione
15

Sull’errore relativo e percentuale di una misura ripetuta

Durante un esperimento misuri con un cronometro il tempo di caduta di una palla da tennis dalla cima di un palazzo. Le misure riportate in secondi (s) sono le seguenti:

5,66,15,24,9
  • Calcola l’errore percentuale

[\epsilon_x = 10 \%]

Soluzione
16

Sul calcolo dell’errore assoluto partendo dell’errore percentuale

Luca misura la lunghezza di un campo di calcio e ottiene una misura pari a x = 103 \ m con un errore percentuale pari al 4 \%

  • Calcola l’errore assoluto della misura fatta da Luca

[e_x = 4 \ m]

Soluzione
17

Sull’errore percentuale della costante dielettrica del vuoto

La costante dielettrica del vuoto \epsilon_0 vale:

    \[\epsilon_0 = (8,854 \pm 0,010) \cdot 10^{-12} \ C^2 N^{-1}m^{-2}\]

  • Calcola l’errore percentuale

[\epsilon_x = 0,11 \%]

Soluzione
18

Sull’accordo di due serie di misure ripetute

Luca effettua quattro misure della massa m di un cubo di piombo ottenendo i seguenti risultati in kg:

1,141,211,191,17

Francesco effettua poi altre quattro misure sullo stesso cubo ottenendo:

1,081,131,091,15
  • Calcola e presenta i risultati delle due serie di misure
  • I risultati sono in accordo?

[Suggerimento: Fai attenzione alle cifre significative!]

[m_L = (1,18 \pm 0,04) \ kg;m_F = (1,11 \pm 0,04) \ kg]

Soluzione
19

Sulla propagazione degli errori per la somma di due grandezze

Il peso di quattro mele riportate da una bilancia è m_1 = (450 \pm 5) \ g. Vengono poi aggiunte sulla bilancia altre mele dal peso di m_2 = (250 \pm 3) \ g

  • Calcola il peso totale m_{tot}

[m_{tot} = (700 \pm 8) \ g]

Soluzione
20

Sull’incertezza di misura per la differenza di due grandezze

Luca sale sulla bilancia ed il suo peso è m_1 = (78,3 \pm 0,5) \ kg. Dopo essersi accorto di essere salito con le scarpe decide di togliersele e pesarsi di nuovo. Se le scarpe pesano m_2 = (0,8 \pm 0,1) \ kg

  • Calcola il peso m_L di Luca dopo essersi tolto le scarpe

[m_L = (77,5 \pm 0,6) \ kg]

Soluzione
21

Sull’errore di misura del prodotto di una grandezza per un numero

Il lato maggiore di un rettangolo misura a = (1,2 \pm 0,2) \ m mentre il lato minore misura b = 0,8 \pm 0,2) \ m

  • Calcola il perimetro del rettangolo

[p = (4,0 \pm 0,8) \ m]

Soluzione
22

Sulla propagazione degli errori per il rapporto di una grandezza per un numero

L’area di un quadrato è pari a A = (1,2 \pm 0,4) \ m^2

  • Calcola l’area di un rettangolo sapendo che è pari ad 1/4 l’area del quadrato

[A_r = (0,3 \pm 0,1) \ m^2]

Soluzione
23

Sulla propagazione degli errori per il prodotto di due grandezze

Il lato di un quadrato misura L = (1,9 \pm 0,1) \ m

  • Calcola l’area del quadrato

[A = (3,6 \pm 0,4) \ m^2]

Soluzione
24

Sull’incertezza di misura per il rapporto di due grandezze

All’interno di un volume pari a V = (1,0 \pm 0,1) \ m^3 sono contenuti m = (916 \pm 1) \kg di olio di oliva

  • Calcola la densità dell’olio

[d = (916 \pm 92) \ kg/m^3]

Soluzione
25

Un esercizio sulla propagazione degli errori

Il diametro di un cerchio è pari a d = (15,0 \pm 0,2) \ cm

  • Calcola la circonferenza del cerchio
  • Calcola l’area del cerchio

[L = (47,0 \pm 0,6) \ cm;A = (177 \pm 4) \ cm^2]

Soluzione
26

Sulla propagazione degli errori per il calcolo del volume

Una scatola ha dimensioni a = (14,3 \pm 0,2) \ cm, b = (12,5 \pm 0,2) \ cm e a = (9,3 \pm 0,2) \ cm

  • Calcola il volume della scatola

[V = (1,7 \pm 0,1) \ dm^3]

Soluzione