Errori di misura – 24

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Sull’incertezza di misura per il rapporto di due grandezze

All’interno di un volume pari a V = (1,0 \pm 0,1) \ m^3 sono contenuti m = (916 \pm 1) \kg di olio di oliva

  • Calcola la densità dell’olio

Soluzione

Innanzitutto ricordiamo che la densità è data dalla formula:

    \[d = \frac{m}{V}\]

Esistono due modi del tutto equivalenti per risolvere questo problema o in generale per calcolare la propagazione degli errori nel caso del rapporto di due grandezze.

Per quanto riguarda il valore attendibile, in entrambi i modi il risultato è pari al rapporto dei valori attendibili delle due grandezze che si stanno dividendo:

    \[\bar d = \frac{\bar m}{\bar V} = \frac{916}{1} = 916 \ kg/m^3\]

Per quanto riguarda l’errore assoluto possiamo procedere in due modi:

1) Calcoliamo gli errori relativi delle grandezze che si stanno dividendo e sommiamoli per ottenere l’errore relativo della densità:

    \[\epsilon_m = \frac{e_m}{\bar m} = \frac{1}{916} = 0,001 \]

e

    \[\epsilon_V = \frac{e_V}{\bar V} = \frac{0,1}{1} = 0,1 \]

Per cui, prestando attenzione alle cifre significative:

    \[\epsilon_d = \epsilon_m + \epsilon_V = 0,1\]

L’errore assoluto della densità sarà dunque dato dalla formula inversa dell’errore relativo:

    \[e_d = \epsilon_d \cdot \bar d = 92 \ kg/m^3\]

2) Nel secondo modo invece applichiamo direttamente la formula seguente:

    \[\frac{\bar a}{\bar b}\bigg(\frac{e_a}{\bar a} + \frac{e_b}{\bar b}\bigg)\]

dove a e b sono le due grandezze che si stanno dividendo. Nel nostro caso a = m e b = V, quindi:

    \[e_d = \frac{916}{1}\bigg(\frac{1}{916} + \frac{0,1}{1}\bigg) = 92 \ kg/m^3\]

In entrambi i casi il risultato della densità è:

    \[d = (916 \pm 92) \ kg/m^3\]