12 esercizi sui condensatori e sui materiali dielettrici (con soluzioni)

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Questa raccolta di esercizi è dedicata allo studio dei condensatori e dei materiali dielettrici, due elementi fondamentali per comprendere il comportamento dei sistemi elettrici in presenza di campi elettrostatici. I condensatori sono dispositivi capaci di immagazzinare carica elettrica e di mantenere una differenza di potenziale tra due conduttori. Analizzarli significa studiare la capacità elettrica, l’energia accumulata e l’evoluzione della carica in funzione della geometria e del contesto in cui il condensatore è inserito.

Un ruolo altrettanto cruciale è svolto dai materiali dielettrici, isolanti inseriti tra le armature del condensatore per modificarne le proprietà elettriche. La presenza di un dielettrico altera il campo elettrico interno, riduce la tensione e aumenta la capacità, grazie alla polarizzazione del materiale.

Questa raccolta è pensata per studenti di scuole superiori e appassionati di scienze fisiche che desiderano approfondire le proprie conoscenze e migliorare le proprie capacità di problem-solving. Speriamo che vi sia utile nel vostro percorso di studio e vi fornisca una solida base per affrontare con sicurezza le sfide poste dalla termodinamica. Buono studio!

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Esercizi svolti sui condensatori e materiali dielettrici

Sulla forza di Coulomb nella materia

Due cariche $q_1 = 3,6 \ \mu C$ e $q_2 = - 1,8 \ \mu C$ si trovano in acqua alla distanza $d = 2,5 \ cm$ .

Determina la direzione, il verso e l’intensità della forza elettrostatica

[ $F = 1,2 \ N$ ]

Soluzione

Sulla capacità dei condensatori

Le armature di un condensatore piano acquistano una carica $q = 9,5 \ nC$ quando viene applicata una differenza di potenziale $\Delta V = 12,5 \ V$ .

Calcola la capacità del condensatore

[ $C = 7,6 \cdot 10^{-10} \ F$ ]

Soluzione

Sui condensatori piani riempiti da un dielettrico

Un condensatore piano è formato da armature quadrate di lato $L = 10 \ cm$ e immagazzina $q = 4,3 \cdot 10^{-5} \ C$ di carica sulle armature. Tra le armature si trova un foglio di carta di costante dielettrica $\epsilon_r = 2,0$ che riempie tutto lo spazio all’interno del condensatore, come mostrato in figura:

Calcola l’intensità del campo elettrico tra le armature

[ $E = 2,4 \cdot 10^8 \ N/C$ ]

Soluzione

Sui condensatori sferici

Le armature di un condensatore sferico di carica $q = 2,5 \ nC$ sono collegate ad una batteria che applica una differenza di potenziale di $5,4 \ V$ .

Calcola il raggio del condensatore

[ $r = 4,1 \ m$ ]

Soluzione

Sulla capacità dei condensatori riempiti da un dielettrico

All’interno di un condensatore a facce piane e parallele è inserito un materiale dielettrico sconosciuto di costante dielettrica $\epsilon_r$ e di spessore $d$ pari alla distanza tra le armature. Se la capacità del condensatore riempito dal dielettrico è il doppio della capacità del condensatore senza materiale dielettrico.

Calcola la costante dielettrico $\epsilon_r$

[ $\epsilon_r = 2,0$ ]

Soluzione

Sulla capacità di un condensatore di geometria triangolare

Un condensatore piano ha le armature che formano un triangolo equilatero di lato $L=2,5 \ cm$ e distanti $d = 1,2 \ cm$ . All’interno delle armature è inserito un materiale di costante dielettrica $\epsilon_r = 2,5$ .

Calcola la capacità del condensatore

[ $C = 5,1 \cdot 10^{-13} \ F$ ]

Soluzione

Sull’energia elettrica dei condensatori

Un condensatore a facce piane e parallele è alimentato da una differenza di potenziale di 13 V.

Calcola la differenza di potenziale necessaria ad immagazzinare la stessa energia elettrica se viene inserito un dielettrico con $\epsilon_r$ = 3,2

[ $V_{diel} = 7,3 \ V$ ]

Soluzione

Sull’energia elettrica e la potenza

Un condensatore immagazzina una quantità di energia sufficiente per alimentare una torcia da $50 \ W$ per 2 min. Se la differenza di potenziale tra le armature è $4,3 \cdot 10^4 \ V$ :

Calcola la capacità del condensatore

[ $C = 6,5 \cdot 10^{-6} \ F$ ]

Soluzione

Sull’energia potenziale elettrica ed il lavoro

Un condensatore a facce piane e parallele formato da armature rettangolari di lato $a = 2,0 \ cm$ e $b = 4,0 \ cm$ poste a distanza $d = 3 \ mm$ immagazzina un’energia pari a $U = 8,2 \cdot 10^{-10} \ J$ , dopo di che viene staccato.

Calcola la differenza di potenziale applicata
Calcola il lavoro necessario per allontanare le armature fino ad $x = 8 \ mm$

[ $\mathcal{L} = 1,4 \cdot 10^{-9} \ J$ ]

Soluzione

Sul moto di una particella all’interno di un condensatore

Una particella di massa $m$ viene sparata con velocità iniziale $v_0$ all’interno di un condensatore, come mostrato in figura. Il campo elettrico uniforme generato all’interno del condensatore piano è perpendicolare alla direzione del vettore velocità della particella. Le armature sono lunghe $L$ e la particella esce dal condensatore deviata di un angolo $\alpha$ rispetto alla direzione orizzontale.

[Suggerimento: Trascura la forza peso]

Determina l’espressione della carica della particella $q$

[ $q = \dfrac{mv_0^2tan\alpha}{EL}$ ]

Soluzione

Sull’energia di un condensatore con all’interno un dielettrico

Un condensatore piano ha le armature di area $A = 1,2 \ m^2$ e poste ad una distanza $L = 5 \ cm$ . Una lastra di materiale dielettrico di spessore $d = 3 \ mm$ e costante dielettrica relativa $\epsilon_r = 3$ è posta al centro delle due armature. Il condensatore ha una carica $Q = 1,0 \ \mu C$ .

Calcola l’energia del condensatore

[ $U_{tot} = 2,3 \cdot 10^{-3} \ J$ ]

Soluzione

Sul calcolo della costante dielettrica

Un condensatore vuoto è collegato ad una batteria da $12 \ V$ . Dopo aver disconnesso la batteria viene inserito un materiale dielettrico tra le armature. Se la variazione del potenziale elettrico tra le armature è $\Delta V = - 4,3 \ V$ :

Calcola la costante dielettrica relativa del materiale

[ $\epsilon_r = 1,6$ ]

Soluzione

Link utili

Wikipedia