Calorimetria – 13

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Sulla conservazione dell’energia ed il calore

Un proiettile di rame di massa m_1 = 0,8 \ kg viene sparato con velocità v_1 = 1,8 \cdot 10^2 \ m/s verso un bersaglio fermo di alluminio di massa m_2 = 1,2 \ kg. Il proiettile ed il bersaglio si trovano inizialmente a temperatura ambiente T_1 = T_2 = T = 300 \ K. Se l’urto è completamente anelastico e non avvengono scambi di calore con l’ambiente esterno

  • Calcola la temperatura di equilibrio T_{eq} del sistema proiettile + bersaglio

[Suggerimento: Il calore specifico del rame è c_1 = 3,9 \cdot 10^2 \ J/(kg \cdot K); il calore specifico dell’alluminio è c_2 = 9,0 \cdot 10^2 \ J/(kg \cdot K)]

Soluzione

Come abbiamo già visto nella sezione dedicata agli urti, in un urto completamente anelastico l‘energia cinetica non si conserva ma la quantità di moto si conserva, per cui possiamo scrivere:

(1)   \begin{align*}m_1v_1 = (m_1+m_2)v_2\end{align*}

L’energia cinetica non si conserva poiché la differenza tra l’energia cinetica finale K_f e quella iniziale K_i si trasforma in calore, ovvero:

    \[K_f - K_i = - Q\]

Nota bene che il segno meno davanti al calore Q è dovuto al fatto che l’energia che si trasforma è energia dissipata!

ovvero:

(2)   \begin{align*}&\frac{1}{2}(m_1+m_2)v_2^2 - \frac{1}{2}m_1v_1^2 \\[.5em]&= - (m_1c_1 + m_2c_2)(T_{eq} - T)\end{align*}

Dalla relazione (1) possiamo ottenere:

    \[v_2 = \frac{m_1v_1}{m_1+m_2}\]

e sostituendo nell’espressione (2) otteniamo:

(3)   \begin{align*}&\frac{1}{2}(m_1+m_2)\bigg(\frac{m_1v_1}{m_1+m_2}\bigg)^2 - \frac{1}{2}m_1v_1^2 \\[.5em]&= - (m_1c_1 + m_2c_2)(T_{eq} - T)\end{align*}

Tramite un semplice passaggio matematico possiamo ricavare la temperatura di equilibrio:

    \[T_{eq} = \frac{m_1v_1^2 - \dfrac{m_1^2v_1^2}{m_1+m_2}}{2(m_1c_1+m_2c_2)} + T = 306 \ K\]