Moto del proiettile - 5

Sulla distanza percorsa nel moto di un proiettile

Un aereo, che vola lungo una traiettoria orizzontale con velocità costante $v_0 = 170 \ m/s$ ad un’altezza di $100 \ m$ , lascia cadere un pacco rifornimenti.

Calcola quanta distanza orizzontale viene percorsa dal pacco prima di toccare terra.

Supponi ora che ci sia un forte vento, contrario rispetto al moto dell’aereo, che rallenta il pacco imprimendo un’accelerazione costante $a = 32,0\ m/s^2$ (lascia tuttavia invariata la velocità dell’aereo).

Per far si che il pacco cada nello stesso punto, a che distanza orizzontale dal bersaglio deve ora l’aereo lasciar cadere il pacco?

Soluzione

Scegliamo un sistema di riferimento con origine alla posizione in cui il pacco viene lanciato, asse x verso il moto dell’aereo, asse y verso il basso.

Il moto del pacco lunga l’asse x è un moto rettilineo uniforme con velocità costante pari alla velocità iniziale $v_0$ dell’aereo, mentre il moto lungo y è uniformemente accelerato dato che abbiamo scelto un asse y con stesso verso dell’accelerazione di gravità $g=9.81 \ m/s^2$ :

$\begin{align*}&v_{0_x} = v_0 = 170 \ m/s \\[1em]&x(t) = x_0 + v_{0_x}t = 0 + v_0t\end{align*}$

La distanza percorsa lungo y è pari alla quota dell’aereo rispetto al terreno:

$\begin{align*}&y(t) = h = y_0 + v_{0_y}t + \frac{1}{2}gt^2 = 0 + 0 + \frac{1}{2}gt^2 \\[1em]&\rightarrow \ t=\sqrt{\frac{2h}{g}} =\sqrt{\frac{2(100)}{9,81}} = 4,51 \ s\end{align*}$

Sostituendo il tempo nell’equazione per $x(t)$ :

$x(t) = (170)(4,51) = 766 \ m$

Supponendo ora vi sia vento contrario al moto dell’aereo, l’accelerazione $a$ è diretta lungo x in verso contrario a $v_0$ . Questo trasforma il moto uniforme lungo x in un moto uniformemente accelerato (decelerato in questo caso):

$x^*(t) = x^*_0 + v_{0_x}t - \frac{1}{2}at^2$

Il moto lungo y non è invece affetto, in quanto non viene introdotta nessuna nuova componente che lo modifica: questo significa che il tempo di caduta ricavato sopra è ancora valido e possiamo nuovamente sfruttarlo.

Cambiamo origine del sistema di riferimento, spostandolo alla nuova posizione di lancio ( $x_0^*$ ) e lasciando invariati gli assi:

$\begin{align*}x^*(t) &= 0 + v_0t - \frac{1}{2}at^2 \\[0.75em]&= (170)(4,51) - (0,5)(32)(4,51)^2 \\[0.75em]&= 441 \ m\end{align*}$

che è la nuova gittata.