Moto del proiettile - 6

Sull’equazione del moto di un proiettile

Una palla viene lanciata dalla cima di un muro, di altezza $h$ verso un altro muro, di fronte al primo a distanza $d$ , con velocità iniziale $v_0$ diretta orizzontalmente. La palla rimbalza da muro a muro per due volte prima di toccare terra, e ad ogni rimbalzo la sua velocità orizzontale si riduce di $1/3$ , mentre la velocità $v_y$ resta invariata.

Scrivi le equazioni che descrivono il moto della palla tra i rimbalzi e le equazioni per ricavare i dati necessari a tale scopo
Scrivi infine l’equazione che determina a che distanza orizzontale cade a terra rispetto alla posizione del muro da cui è stata lanciata

Soluzione

Cominciamo disegnando lo schema del problema e fissando un sistema di riferimento. Lo scegliamo con origine alla base di uno dei due muri (ad esempio quello da cui viene lanciata), asse x diretto verso l’altro muro, asse y verso l’alto:

Tra ogni rimbalzo, il moto della palla è un moto di un proiettile con velocità $v_y = v_{0_y} = 0$ , mentre $v_x = v_{0_x} = v_0$ nel primo tratto, e poi diminuisce a $v_x = \frac{2}{3}v_0$ e $v_x = \frac{1}{3}v_0$ rispettivamente nei due tratti successivi, invertendo il suo segno quando diretta verso il muro da cui è stata lanciata.

$\begin{align*}&x(t) = x_0 + v_{0_x}t \\[1em]&y(t) = y_0 + v_{0_y}t - \frac{1}{2}gt^2\end{align*}$

Tra il lancio e il primo rimbalzo percorre una distanza orizzontale $d$ pari alla distanza tra i muri, da cui:

$\begin{align*}x(t_1) &= d = x_0 + v_{0_x}t_1 = 0 + v_0t_1 \\[0.75em]&\rightarrow \ t_1 = \frac{d}{v_0}\end{align*}$

dove con $t_1$ indichiamo il tempo trascorso tra lancio e primo rimbalzo.

Avendo $t_1$ , ricaviamo la distanza verticale a cui colpisce l’altro muro dall’equazione per $y$ :

$y(t_1) = y_0 + v_{0_y}t_1 - \frac{1}{2}gt_1^2 = h + 0 - \frac{1}{2}gt_1^2$

Ora la palla rimbalza, riduce la sua velocità orizzontale di (1/3) e torna verso il primo muro, invertendo il segno di tale velocità; dal testo del problema, deve compiere un secondo rimbalzo, quindi necessariamente percorre di nuovo tutta la distanza orizzontale $d$ tra i due muri:

$\begin{align*}&v_x(t_1) = v_x = - \frac{2}{3}v_0 \\[1em]&x(t_2) = 0 = d + v_xt_2 = -\frac{2}{3}v_0t_2 \\[0.75em]&\rightarrow \ t_2 = \frac{d}{v_x} = \frac{3d}{2v_0}\end{align*}$

dove $t_2$ indica il tempo trascorso tra primo e secondo rimbalzo. Grazie a questo abbiamo tutti i dati per l’equazione in $y$ :

$y(t_2) = y_0 + v_{0_y}t_2 - \frac{1}{2}gt_2^2 = y(t_1) + 0 - \frac{1}{2}gt_2^2$

dove ora $y_0 = y(t_1)$ , l’altezza a cui è avvenuto il primo rimbalzo, dove inizia il secondo moto del proiettile.

Dopo il secondo, non fa altri rimbalzi, quindi cade a terra:

$\begin{align*}y(t_3) &= 0 = y_0 + v_{0_y}t_3 - \frac{1}{2}gt_3^2 = y(t_2) - \frac{1}{2}gt_3^2 \\[0.75em]&\rightarrow \ t_3 = \sqrt{\frac{2y(t_2)}{g}}\end{align*}$

dove $t_3$ indica il tempo tra secondo rimbalzo e caduta a terra; $y_0 = y(t_2)$ è la nuova distanza verticale iniziale da cui comincia il terzo moto del proiettile.

Usando $t_3$ e la nuova velocità orizzontale $v_x(t_2)= v_x = \frac{1}{3}v_0$ , ridotta di un un ulteriore fattore (1/3) rispetto la precedente e ora con segno positivo in quanto ha lo stesso verso dell’asse x, ricaviamo la distanza orizzontale a cui cade rispetto al muro di partenza:

$x(t_3) = x_0 + v_xt_3 = 0 + \frac{1}{3}v_0t_3$