Moto del proiettile - 4

Sul tempo di volo per due angoli di lancio diversi

Da un ponte, molto in alto rispetto al fiume sottostante ( $h = 50,0 \ m$ ), tu e la tua amica lanciate contemporaneamente dei sassi: il tuo lancio è verso il basso, con un angolo di $30,0^\circ$ rispetto al piano orizzontale ed una velocità in modulo di $10,0 \ m/s$ ; la tua amica invece lo lancia verso l’alto per poi vederlo cadere, ad un angolo di $45,0^\circ$ rispetto all’orizzonte e velocità iniziale in modulo pari a $9,00 \ m/s$ .

Quale dei due sassi raggiunge per primo il fiume? (Ignora l’ulteriore altezza dei lanciatori)

Soluzione

Scegliamo un sistema di riferimento con origine alla posizione dei due lanciatori, asse x verso la direzione di moto orizzontale, asse y verso il basso.

Dobbiamo confrontare i tempi di caduta dei sassi, ed abbiamo dati sufficienti per ricavarli tramite le rispettive equazioni di moto per la direzione y, tramite le equazioni di moto del proiettile:

$y(t) = y_0 + v_{0_y}t + \frac{1}{2}gt^2$

dove il segno di $g = 9,81 \ m/s^2$ è positivo perché ha lo stesso verso dell’asse y.

Il segno di $v_{0_y}$ dipende invece dal lanciatore: il lanciatore 1 tira verso il basso con angolo $30,0^\circ$ , da cui $v_{0_y}^{(1)} = v_0sen(30,0) = 5,00 \ m/s$ ; il lanciatore 2 lancia invece verso l’alto con angolo di $-45,0^\circ$ , data la scelta del sistema di riferimento adottata (se l’asse y fosse stato preso verso l’alto, i segni degli angoli sarebbero invertiti). Quindi $v_{0_y}^{(2)} = v_0sen(-45,0) = -6,36 \ m/s$

Sapendo che l’altezza finale y(t) deve essere l’altezza del ponte, separiamo i moti per il lanciatore 1 e 2:

$\begin{align*}&y_1(t_1) = 50,0 \ m = y_{0_1} + v_{0_y}^{(1)}t_1 + \frac{1}{2}gt_1^2 \\[1em]&\rightarrow \ t_1 = -2v_{0_y}^{(1)} + \frac{\sqrt{4v_{0_y}^{(1)}^2 - 4(-100g)}}{2g} \\[0.75em]&\quad\quad \ \ = \frac{-2(5) + \sqrt{4(5)^2 - 4(-100)(9,81)}}{2(9,81)} \\[0.75em]&\quad\quad \ \ = 2,72 \ s\end{align*}$

$\begin{align*}&y_2(t_2) = 50,0 \ m = y_{0_2} + v_{0_y}^{(2)}t_2 + \frac{1}{2}gt_2^2 \\[1em]&\rightarrow \ t_2 = -2v_{0_y}^{(2)} + \frac{\sqrt{4v_{0_y}^{(2)}^2 - 4(-100g)}}{2g} \\[0.75em]&\quad\quad \ \ =\frac{ -2(6,36) + \sqrt{4(6,36)^2 - 4(-100)(9,81)}}{2(9,81)} \\[0.75em]&\quad\quad \ \ = 3,96 \ s\end{align*}$

Dal confronto, il sasso 1 entra per primo in acqua.