Moto del proiettile – 3

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Sul moto di un proiettile noto l’angolo di lancio

A capodanno stappi lo spumante. Il tappo parte dalla bottiglia con una velocità iniziale in modulo di 12 \ m/s e diretto in modo da formare un angolo di 60 ^\circ rispetto al piano orizzontale.

  • Indica le componenti della velocità iniziale
  • la quota massima a cui arriva il tappo
  • la distanza percorsa orizzontalmente prima di cadere a terra

Supponi che il tappo sia inizialmente ad un’altezza di 1,3 \ m

Soluzione

Scegliamo in sistema di riferimento con origine alla posizione iniziale del tappo, asse x verso la direzione orizzontale di moto, asse y verso l’alto. In questo modo asse x e direzione di moto iniziale del tappo formano un angolo di 60^\circ tra loro.

Le componenti iniziali della velocità sono date dalla trigonometria:

    \begin{align*}&v_{0_x} = v_0cos(60^\circ) = 6,0 \ m/s \\[1em]&v_{0_y} = v_0sen(60^\circ) = 10 \ m/s \\[1em]&v_0 = (v_{0_x}; v_{0_y}) = (6; 10) \ m/s\end{align*}

Alla quota massima la velocità lungo y è nulla, quindi, dalle equazioni di moto del proiettile per le velocità:

    \begin{align*}v_y(t) &= 0 = v_{0_y} - gt \ \\[0.75em]&\rightarrow \ t = v_{0_y}/g = 1,0 \ s\end{align*}

abbiamo il tempo al quale il tappo si trova alla massima altezza, che sostituiamo nell’equazione per la posizione, trovando la quota massima:

    \begin{align*}y(t) &= y_0 + v_{0_y}t - \frac{1}{2}gt^2 \\[0.75em]&= 0 + (10)(1) - (0,5)(9,8)(1)^2 \\[0.75em]&= 5,1 \ m\end{align*}

Per la gittata massima occorre il tempo al quale il tappo si trova a terra. Si ricava ponendo la posizione y a tale tempo, che chiamiamo t^*, uguale all’altezza a terra, in questo caso h = -1,3 \ m per il sistema di riferimento scelto.

    \[y(t^*) = h = y_0 + v_{0_y}t - \frac{1}{2}g{t^*}^2 \]

    \begin{align*}t^* &= \frac{2v_{0_y} + \sqrt{4v_{0_y}^2 - 4(2gh)}}{2g} \\[0.75em]&= \frac{2(10) + \sqrt{4(10)^2 - 4(2(9,8)(-1,3))}}{2(9,8)} \\[0.75em]&= 2,2 \ s\end{align*}

Sostituendo questo nel moto rettilineo uniforme lungo x:

    \[x(t^*) = x_0 + v_{0_x}t^* = 0 + (6)(2,2) = 13 \ m\]