Moto del proiettile - 2

Sulla distanza percorsa e le componenti della velocità

Un barman lascia scivolare un bicchiere di birra lungo il bancone, ma il cliente manca la presa. Cade oltre il bordo del tavolo, con una velocità iniziale di $2,00 \ m/s$ .

A che distanza orizzontale dal bancone cade, sapendo che questo è alto $1,20 \ m$ ?
Quali sono le componenti della velocità al momento dell’impatto a terra?

Soluzione

Scegliamo in sistema di riferimento con origine alla posizione del bicchiere nell’istante in cui inizia a cadere, asse x lungo la direzione orizzontale di moto, asse y verso il basso.

Avremo quindi $y_0 = 0$ ; poniamo $h$ l’altezza del bancone, che coincide con la distanza percorsa verticalmente prima dell’impatto, $y(t) = h$ ; $g=9,81 \ m/s^2$ .

La velocità iniziale è tutta diretta lungo l’asse x, quindi $v_{0_x} = v$ ; $v_{0_y} = 0$ .

Le equazioni del moto del proiettile (bada al segno di $g$ , con questo riferimento ha lo stesso verso dell’asse y):

$\begin{align*}&x(t) = x_0 + v_{0_x}t \\[1em]&y(t) = y_0 + v_{0_y}t + \frac{1}{2}gt^2\end{align*}$

Dalla seconda ricaviamo il tempo di caduta:

$h = 0 + 0 + \frac{1}{2}gt^2 \ \rightarrow \ t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = 0,49 \ s$

Sostituendo nella prima, abbiamo la distanza orizzontale:

$x(t) = 0 + v_{0_x}t = 0,98 \ m$

Per le velocità, dal moto del proiettile:

$\begin{align*}&v_x(t) = v_{0_x} \ \rightarrow \ v_x(t) = 2,00 \ m/s \\[1em]&v_y(t) = v_{0_y} + gt \ \rightarrow \ v_y(t) = 0 + gt = 4,80 \ m/s\end{align*}$

Scrivendola nella sua forma vettoriale: $v(t) = (v_x(t); \ v_y(t)) = (2,00; \ 4,80) \ m/s$