Moto circolare uniformemente accelerato - 8

Sul calcolo del tempo nel moto circolare uniformemente accelerato

Una pallina ferma è fissata sul bordo di un disco in rotazione a distanza $r$ dal centro inizia a muoversi di moto circolare uniformemente accelerato con accelerazione angolare costante $\alpha$ , come mostrato in figura.

Calcola l’istante di tempo $t$ in cui l’accelerazione tangenziale e l’accelerazione centripeta assumono lo stesso valore

Soluzione

Per rispondere alla domanda è necessario ricordarsi l’espressione dell’accelerazione tangenziale e dell’accelerazione centripeta:

$\begin{align*}\begin{cases}a_t = r\alpha \\a_c = r\omega^2\end{cases}\end{align*}$

Nel momento in cui le due accelerazioni si eguagliano, ovvero $a_t = a_c$ , otteniamo la seguente relazione:

$r \alpha = r \omega^2$

e semplificando $r$ otteniamo:

$\alpha = \omega^2$

Qual è il problema? Nella relazione che abbiamo scritto non compare il tempo $t$ . Per questo motivo è necessario ricordare che nel moto circolare uniformemente accelerato vale la seguente formula per la velocità angolare:

$\omega = \omega_0 + \alpha t$

Nel nostro caso la pallina parte da ferma, quindi $\omega_0 = 0$ e l’espressione si riduce a:

$\omega = \alpha t$

Sostituendo nell’espressione precedente ottenuto uguagliando $a_t$ e $a_c$ ricaviamo:

$\alpha = \alpha^2 t^2$

e dalla formula inversa possiamo ricavarci il tempo:

$t = \sqrt{\frac{1}{\alpha}}$