Moto circolare uniformemente accelerato – 3

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Sul numero di giri in un moto uniformemente accelerato

Un disco parte da fermo, poi raggiunge la sua velocità angolare massima, di 120 giri al minuto, in 10 secondi, che poi mantiene per 20 secondi. Quindi viene rallentato e si ferma in 6 secondi.

  • Calcola il numero di giri totali compiuti dal disco.

Soluzione

Il problema può essere diviso in 3 fasi: la prima è un moto circolare uniformemente accelerato, con t=10 \ s; la seconda un moto circolare uniforme, con t=20 \ s; la terza un moto circolare uniformemente decelerato, con t= 6 \ s.

In ogni fase, il numero di giri compiuti si ricava dividendo l’angolo totale spazzato in ciascuna fase per 2\pi, che rappresenta l’angolo totale spazzato in un giro completo.

Fase 1

    \begin{align*}\omega_{max} &= 120 \ \frac{giri}{minuto} = \frac{120}{60} \ \frac{giri}{secondo} \\[0.75em]&= 2 \ \frac{giri}{secondo} = 2(2\pi) \ \frac{rad}{s} = 4\pi \ \frac{rad}{s}\end{align*}

    \begin{align*}\theta(t) &= \theta_0 + \omega_0 t +\frac{1}{2}\alpha t^2 = 0 + 0 + \frac{1}{2}\alpha t^2 \\[1em]\omega(t) &= \omega_0 + \alpha t = 0 + \alpha t \\[0.75em] &\rightarrow \ \omega(t) = \omega_{max} = \alpha t \\[0.75em]&\rightarrow \ \alpha = \frac{\omega_{max}}{t} \\[1em]&\rightarrow \theta(t) = \frac{1}{2}\alpha t^2 = \frac{1}{2}\omega_{max} t = \frac{1}{2}(4\pi)(10) \ \frac{rad}{s}s\\[0.75em]&=20\pi \ rad\end{align*}

    \[\#giri = \frac{\theta(t)}{2\pi} = \frac{20\pi}{2\pi} \ \frac{rad}{rad} = 10\]

Fase 2

    \begin{align*}\theta(t) &= \theta_0 + \omega_0 t = 0 + \omega_{max} t = (4\pi)(20) \ \frac{rad}{s}s \\[0.75em]&= 80\pi \ rad\end{align*}

    \[\#giri = \frac{\theta(t)}{2\pi} = \frac{80\pi}{2\pi} \ \frac{rad}{rad} = 40\]

Fase 3

    \begin{align*}\theta(t) &= \theta_0 + \omega_0 t - \frac{1}{2}\alpha^* t^2 = 0 + \omega_{max}t - \frac{1}{2}\alpha^* t^2 \\[1em]\omega(t) &= 0 = \omega_0 - \alpha^* t = \omega_{max} - \alpha^* t \\[0.75em]&\rightarrow \ \alpha^* = \frac{\omega_{max}}{t} \\[1em]&\rightarrow \theta(t) = \omega_{max}t - \frac{1}{2}\alpha^* t^2 \\&= \omega_{max}t - \frac{1}{2}\omega_{max}t = \frac{1}{2}\omega_{max}t \\[0.75em]&= \frac{1}{2}(4\pi)(6) \ \frac{rad}{s}s = 12\pi \ rad\end{align*}

    \[\#giri = \frac{\theta(t)}{2\pi} = \frac{12\pi}{2\pi} \ \frac{rad}{rad} = 6\]

La somma totale dei giri è 56.