Fune, tensione e carrucola - 8

Sul calcolo del coefficiente di attrito statico

Due casse di massa $m_1 = 50 \ kg$ ed $m_2 = 20 \ kg$ vengono tirate da una fune ideale ed inestensibile con una forza $F = 10 \ N$ che forma un angolo $\theta = 45^\circ$ rispetto all’orizzontale. Le due casse si trovano su di un piano orizzontale scabro

Assumendo che le casse rimangano ferme, quanto vale il coefficiente di attrito statico $\mu_s$ ?

Soluzione

Consideriamo un opportuno sistema di riferimento come quello mostrato in figura:

Disegniamo le forze che agiscono sulle due casse:

La risultante delle forze per la cassa di massa $m_1$ è:

$\begin{align*}& \vec{F}_{a,1} + \vec{P}_1 + \vec{N}_1 + \vec{T}_{12} = 0\end{align*}$

La risultante delle forze per la cassa di massa $m_2$ è:

$\begin{align*}& \vec{T}_{21} + \vec{P}_2 + \vec{F} + \vec{F}_{a,2} + \vec{N}_2 = 0\end{align*}$

Esplicitiamo i segni e dividiamo l’equazione in due equazioni, una lungo l’asse x ed una lungo l’asse y, ricordando che prendiamo il segno + se il vettore ha lo stesso verso dell’asse x o y ed il segno – se ha verso opposto

Per la cassa di massa $m_1$ abbiamo:

(1) $\begin{align*}& (x): -F_a + T_{12} = 0\\& (y): N_1 - P_1 = 0 \end{align*}$

Per la cassa di massa $m_2$ abbiamo:

(2) $\begin{align*}& (x): -F_a - T_{21} + Fcos\theta = 0\\& (y): N_2 - P_2 + Fsin\theta = 0 \end{align*}$

Le tensioni agli estremi della fune tra $m_1$ ed $m_2$ sono identiche, per cui:

$\begin{align*}T_{12} = T_{21} = T\\\end{align*}$

Esplicitiamo le espressioni delle forze in (1) e (2) e mettiamo a sistema

Per la cassa di massa $m_1$ abbiamo:

$\begin{align*}\begin{cases} -\mu_sN_1 + T = 0\\ N_1 = m_1g \end{cases}\end{align*}$

Sostituendo $N_1$ :

(3) $\begin{align*}\begin{cases}T = \mu_sm_1g\\N_1 = m_1g\end{cases} \end{align*}$

Per la cassa di massa $m_2$ abbiamo:

$\begin{align*}\begin{cases}-\mu_sN_2 - T + Fcos\theta = 0\\N_2 - m_2g + Fsin\theta = 0 \end{cases}\end{align*}$

(4) $\begin{align*}\begin{cases}-\mu_s(m_2g - Fsin\theta) - T + Fcos\theta = 0\\N_2 = m_2g - Fsin\theta \end{cases}\end{align*}$

Mettendo a sistema le equazioni lungo (x) trovate nelle espressioni (3) e (4) otteniamo:

(5) $\begin{align*}\begin{cases}T = \mu_sm_1g\\-\mu_s(m_2g - Fsin\theta) - T + Fcos\theta = 0\\\end{cases}\end{align*}$

Sostituendo T:

$\begin{align*} -\mu_s(m_2g - Fsin\theta) - \mu_sm_1g + Fcos\theta = 0\\\end{align*}$

da cui:

$\begin{align*}\mu_s(m_1g + m_2g -Fsin\theta) = Fcos\theta\end{align*}$

$\begin{align*}\mu_s = \frac{Fcos\theta}{(m_1g + m_2g -Fsin\theta)} = 0,01\end{align*}$