Fune, tensione e carrucola – 7

7

Sulla carrucola ed un sistema di tre casse

Una cassa di massa $m_1 = 5,0 \ kg$ posta su un piano orizzontale scabro con coefficiente di attrito dinamico $\mu_d = 0,2$ è collegata a due casse di massa $m_2 = 4,0 \ kg$ ed $m_3 = 2,0 \ kg$ tramite una fune ideale ed inestensibile

Calcolare la tensione della fune tra la massa $m_2$ e la massa $m_3$

Soluzione

Consideriamo un opportuno sistema di riferimento come quello mostrato in figura:

Disegniamo le forze che agiscono sulle 3 casse:

La risultante delle forze per la cassa di massa $m_1$ è:

$\begin{align*}& \vec{F}_a + \vec{P}_1 + \vec{N}_1 + \vec{T}_{12} = m_1a_1\end{align*}$

La risultante delle forze per la cassa di massa $m_2$ è:

$\begin{align*}& \vec{T}_{21} + \vec{P}_2 + \vec{T}_{23} = m_2a_2\end{align*}$

La risultante delle forze per la cassa di massa $m_3$ è:

$\begin{align*}& \vec{T}_{32} + \vec{P}_3 = m_3a_3\end{align*}$

Esplicitiamo i segni e dividiamo l’equazione in due equazioni, una lungo l’asse x ed una lungo l’asse y, ricordando che prendiamo il segno + se il vettore ha lo stesso verso dell’asse x o y ed il segno – se ha verso opposto

Per la cassa di massa $m_1$ abbiamo:

(1) $\begin{align*}& (x): -F_a + T_{12} = m_1a_1\\& (y): N_1 - P_1 = 0 \end{align*}$

Per la cassa di massa $m_2$ abbiamo:

(2) $\begin{align*}& (y): T_{21} - P_2 - T_{23} = m_2a_2 \end{align*}$

Per la cassa di massa $m_3$ abbiamo:

(3) $\begin{align*}& (y): T_{32} - P_3 = m_3a_3 \end{align*}$

Le tensioni agli estremi della fune tra $m_1$ ed $m_2$ sono identiche, per cui:

$\begin{align*}T_{12} = T_{21} = T_1\\\end{align*}$

Allo stesso modo, le tensioni agli estremi della fune tra $m_2$ ed $m_3$ sono identiche, per cui:

$\begin{align*}T_{23} = T_{32} = T_2\\\end{align*}$

Inoltre, dal momento che le tre casse si muovono con la stessa accelerazione:

$\begin{align*} a_1 = - a_2 = -a_3\end{align*}$

Esplicitiamo le espressioni delle forze in (1), (2) e (3) e mettiamo a sistema

Per la cassa di massa $m_1$ abbiamo:

$\begin{align*}\begin{cases} -\mu_dN_1 + T_1 = m_1a\\ N_1 = m_1g \end{cases}\end{align*}$

Sostituendo $N_1$ :

(4) $\begin{align*}\begin{cases}T_1 = \mu_dm_1g + m_1a\\N_1 = m_1g\end{cases} \end{align*}$

Per la cassa di massa $m_2$ abbiamo:

(5) $\begin{align*}T_1 - m_2g - T_2 = -m_2a\end{align*}$

Per la cassa di massa $m_3$ abbiamo:

(6) $\begin{align*}& T_2 - m_3g = -m_3a \end{align*}$

Sostituendo $T_1$ e $T_2$ nell’espressione (5) otteniamo:

$\begin{align*} \mu_dm_1g + m_1a - m_2g - m_3g + m_3a = -m_2a\end{align*}$

da cui:

$\begin{align*} (m_1 + m_2 + m_3)a = m_2g + m_3g - \mu_dm_1g\end{align*}$

(7) $\begin{align*} a = \frac{m_2g + m_3g - \mu_dm_1g}{(m_1 + m_2 + m_3)} = 4,5 \ m/s^2\end{align*}$

Dall’equazione (6), sostituendo il valore di a appena trovato, otteniamo:

$\begin{align*}& T_2 = m_3g - m_3a = 11 \ N \end{align*}$