Fune, tensione e carrucola - 9

Sul calcolo della tensione per un sistema di tre casse

Si consideri il sistema di tre casse di masse $m_2 = 8,0 \ kg$ , $m_1 = 4,0 \ kg$ ed $m_3 = 3,0 \ kg$ mostrato in figura. La cassa di massa $m_1$ poggia su un piano privo di attrito. Si consideri una fune ideale ed inestensibile

Quanto vale la tensione $T$ tra la cassa di massa $m_2$ e quella di massa $m_1$ ?

Soluzione

Consideriamo un opportuno sistema di riferimento come quello mostrato in figura:

Disegniamo le forze che agiscono sulle due casse:

La risultante delle forze per la cassa di massa $m_1$ è:

$\begin{align*}& \vec{T}_{13} + \vec{P}_1 + \vec{N}_1 + \vec{T}_{12} = m_1\vec{a}_1\end{align*}$

La risultante delle forze per la cassa di massa $m_2$ è:

$\begin{align*}& \vec{T}_{21} + \vec{P}_2 = m_2\vec{a}_2\end{align*}$

La risultante delle forze per la cassa di massa $m_3$ è:

$\begin{align*}& \vec{T}_{31} + \vec{P}_3 = m_3\vec{a}_3\end{align*}$

Esplicitiamo i segni e dividiamo l’equazione in due equazioni, una lungo l’asse x ed una lungo l’asse y, ricordando che prendiamo il segno + se il vettore ha lo stesso verso dell’asse x o y ed il segno – se ha verso opposto

Per la cassa di massa $m_1$ abbiamo:

(1) $\begin{align*}& (x): - T_{13} + T_{12} = m_1a_1\\& (y): N_1 - P_1 = 0 \end{align*}$

Per la cassa di massa $m_2$ abbiamo:

(2) $\begin{align*}& (y): T_{21} - P_2 = m_2a_2 \end{align*}$

Per la cassa di massa $m_3$ abbiamo:

(3) $\begin{align*}& (y): T_{31} - P_3 = m_3a_3 \end{align*}$

Le tensioni agli estremi della fune tra $m_1$ ed $m_2$ sono identiche, per cui:

$\begin{align*}T_{12} = T_{21} = T_1\\\end{align*}$

Le tensioni agli estremi della fune tra $m_1$ ed $m_3$ sono identiche, per cui:

$\begin{align*}T_{13} = T_{31} = T_2\\\end{align*}$

Assumendo che l’accelerazione sia uguale per tutte e tre le casse e che la cassa di massa $m_1$ si sposti verso destra, quella di massa $m_2$ si abbassi e quella di massa $m_3$ si alzi, otteniamo:

$\begin{align*}a_3 = a _1 = - a_2\\\end{align*}$