Fune, tensione e carrucola – 4

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Un esercizio sulla carrucola ed il calcolo della massa

Consideriamo la macchina di Atwood del problema precedente e sostituiamo le casse con due pesi di massa $m_1 = 5,0 \ kg$ ed $m_2$ .

Assumendo che il peso di massa $m_2$ raggiunga un velocità $v_f = 1,8 \ m/s$ in $t = 5,2 \ s$ , quanto vale la massa $m_2$ ?
Di quanto è sceso il peso di massa $m_2$ ?

Soluzione

Scegliamo lo stesso sistema di riferimento del problema (3):

Come già visto nel problema precedente, disegniamo le forze:

La risultante delle forze per il peso di massa $m_1$ è:

$\begin{align*}& \vec{P}_1 + \vec{T}_{1} = m_1\vec{a}_1\end{align*}$

La risultante delle forze per il peso di massa $m_2$ è:

$\begin{align*}& \vec{P}_2 + \vec{T}_{2} = m_2\vec{a}_2\end{align*}$

Esplicitiamo i segni ricordando che prendiamo il segno + se il vettore ha lo stesso verso dell’asse y ed il segno – se ha verso opposto

Per il peso di massa $m_1$ abbiamo:

(1) $\begin{align*}& - P_1 + T_{1} = m_1a_1\end{align*}$

Per il peso di massa $m_2$ abbiamo:

(2) $\begin{align*}& - P_2 + T_{2} = m_2a_2 \end{align*}$

Le tensioni agli estremi della fune sono identiche, per cui:

$\begin{align*}T_{1} = T_{2} = T\\\end{align*}$

Inoltre, dal momento che i due pesi si muovono con la stessa accelerazione, ma mentre uno sale l’altro scende, vale la relazione:

$\begin{align*} a_1 = - a_2\end{align*}$

Assumendo che il peso $m_2$ , inizialmente fermo, si muova con accelerazione a costante:

$\begin{align*}v_f = v_i + at\end{align*}$

da cui:

$\begin{align*}a = \frac{v_f}{t} = 0,35 \ m/s^2\end{align*}$

Esplicitiamo le espressioni delle forze in (1), (2) e mettiamo a sistema.

(3) $\begin{align*}\begin{cases}- m_1g + T = m_1a\\- m_2g + T = - m_2a \end{cases} \end{align*}$

Sostituendo T:

$\begin{align*}\begin{cases}- m_1g + m_2g - m_2a = m_1a\\T = - m_2a + m_2g \end{cases} \end{align*}$

da cui:

$\begin{align*}m_2 = \frac{m_1(a+g)}{g-a} = 5,4 \ Kg\end{align*}$

Dalla formula:

$\begin{align*}v_f^2 - v_i^2 = 2ah\end{align*}$

troviamo di quanto si è abbassato il peso di massa $m_2$ :

$\begin{align*}h = \frac{v_f^2}{2a} = 4,6 \ m\end{align*}$