Fune, tensione e carrucola – 5

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Sulla carrucola e l’attrito statico

Una cassa di massa m_1 che si trova su di un piano orizzontale scabro con coefficiente di attrito statico \mu_s = 0,40 è collegata tramite una fune ideale ed inestensibile ad una cassa di massa m_2 = 5,00 \ kg

  • Calcolare il valore della massa m_1 assumendo che le due casse siano in equilibrio

Soluzione

Scegliamo un sistema di riferimento opportuno, come quello mostrato in figura:

Disegniamo tutte le forze che agiscono sulle casse:

La risultante delle forze per la cassa di massa m_1 è:

    \begin{align*}& \vec{F}_a + \vec{P}_1 + \vec{N}_1 + \vec{T}_1 = 0\end{align*}

La risultante delle forze per la cassa di massa m_2 è:

    \begin{align*}& \vec{T}_2 + \vec{P}_2 = 0\end{align*}

dove l’accelerazione è nulla dato che il sistema è all’equilibrio.

Esplicitiamo i segni e dividiamo l’equazione in due equazioni, una lungo l’asse x ed una lungo l’asse y, ricordando che prendiamo il segno + se il vettore ha lo stesso verso dell’asse x o y ed il segno – se ha verso opposto

Per la cassa di massa m_1 abbiamo:

(1)   \begin{align*}& (x): -F_a + T_1 = 0\\& (y): N_1 - P_1 = 0 \end{align*}

Per la cassa di massa m_2 abbiamo:

(2)   \begin{align*}& (y): T_2 - P_2 = 0 \end{align*}

Le tensioni agli estremi della fune tra m_1 ed m_2 sono identiche, per cui:

    \begin{align*}T_1 = T_2 = T\\\end{align*}

Esplicitando le espressione delle forze per la cassa di massa m_1 abbiamo:

    \begin{align*}\begin{cases}-\mu_sN_1 + T = 0\\N_1 = m_1g \end{cases} \end{align*}

(3)   \begin{align*}\begin{cases}-\mu_sm_1g + T = 0\\N_1 = m_1g \end{cases} \end{align*}

Mettiamo a sistema le espressioni in (2) e (3):

    \begin{align*}\begin{cases}-\mu_sm_1g + T = 0\\ T = m_2g\end{cases} \end{align*}

Sostituendo T:

    \begin{align*}\begin{cases}-\mu_sm_1g + m_2g = 0\\ T = m_2g\end{cases} \end{align*}

da cui:

    \begin{align*}m_1 = \frac{m_2}{\mu_s} = 12,5 \ Kg\end{align*}