Fune, tensione e carrucola – 3

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Un esercizio sulla carrucola ed il calcolo della tensione

Due casse di massa m_1 = 3,0 \ kg e m_2 = 4,0 \ kg sono collegate ad una fune come in figura.

  • Calcola l’accelerazione a delle due casse e la tensione T della fune

Soluzione

Scegliamo un sistema di riferimento opportuno, come quello mostrato in figura:

Disegniamo tutte le forze che agiscono sulle casse:

La risultante delle forze per la cassa di massa m_1 è:

    \begin{align*}& \vec{P}_1 + \vec{T}_{1} = m_1\vec{a}_1\end{align*}

La risultante delle forze per la cassa di massa m_2 è:

    \begin{align*}& \vec{P}_2 + \vec{T}_{2} = m_2\vec{a}_2\end{align*}

Esplicitiamo i segni ricordando che prendiamo il segno + se il vettore ha lo stesso verso dell’asse y ed il segno – se ha verso opposto

Per la cassa di massa m_1 abbiamo:

(1)   \begin{align*}& - P_1 + T_{1} = m_1a_1\end{align*}

Per la cassa di massa m_2 abbiamo:

(2)   \begin{align*}& - P_2 + T_{2} = m_2a_2 \end{align*}

Le tensioni agli estremi della fune sono identiche, per cui:

    \begin{align*}T_{1} = T_{2} = T\\\end{align*}

Inoltre, dal momento che le due casse si muovono con la stessa accelerazione, ma mentre una sale l’altra scende, vale la relazione:

    \begin{align*} a_1 = - a_2\end{align*}

Esplicitiamo le espressioni delle forze in (1), (2) e mettiamo a sistema.

(3)   \begin{align*}\begin{cases}- m_1g + T = m_1a\\- m_2g + T = - m_2a \end{cases} \end{align*}

Sostituendo T:

    \begin{align*}\begin{cases}- m_1g + m_2g - m_2a = m_1a\\T = - m_2a + m_2g \end{cases} \end{align*}

    \begin{align*}\begin{cases}- m_1g + m_2g = (m_1 + m_2)a\\T = - m_2a + m_2g \end{cases} \end{align*}

da cui:

    \begin{align*} a = \frac{(m_2 - m_1)g}{(m_1 + m_2)} = 1,4 \ m/s^2\end{align*}

La tensione si ottiene dalla relazione:

    \begin{align*}T = - m_2a + m_2g = 34 \ N\end{align*}